Separace proměnných

Místo Leibnizovy notace můžeme použít zápis

${\displaystyle {\frac {1}{h(y)}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=g(x),}$

ze kterého ale není zcela zjevné, proč se tato metoda nazývá „separace proměnných“. Integrováním obou stran rovnice podle ${\displaystyle x}$ dostáváme:

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\,\mathrm {d} x=\int g(x)\,\mathrm {d} x,\qquad \qquad (1)}$

nebo ekvivalentně,

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,\mathrm {d} y=\int g(x)\,\mathrm {d} x}$

díky substitučnímu pravidlu pro integrály.

Pro vyřešení rovnice stačí spočítat oba integrály. Tento postup nám umožňuje efektivně považovat derivace ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}$ za zlomky, které mohou být rozděleny. To umožňuje postupovat při řešení separabilních diferenciálních rovnic podobně jako při úpravě aritmetických výrazů:

Poznámka: Při integraci rovnice (1) není třeba používat dvě integrační konstanty jako v

${\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,\mathrm {d} y+C_{1}=\int g(x)\,\mathrm {d} x+C_{2},}$

stačí zavést jedinou konstantu, která je jejich rozdílem: ${\displaystyle C=C_{2}-C_{1}}$.

Obyčejnou diferenciální rovnici

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)=f(x)(1-f(x))}$

můžeme zapsat jako

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=y(1-y).}$

Pokud položíme ${\displaystyle g(x)=1}$ a ${\displaystyle h(y)=y(1-y)}$, můžeme tuto rovnici zapsat ve tvaru rovnice (1) výše. Tato diferenciální rovnice je tedy separabilní.

Jak je ukázáno výše, můžeme považovat ${\displaystyle \mathrm {d} y}$ a ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ za zvláštní hodnoty, takže obě strany rovnice můžeme znásobit ${\displaystyle \mathrm {d} x}$. Vydělením obou stran výrazem ${\displaystyle y(1-y)}$ dostáváme

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{y(1-y)}}=\mathrm {d} x.}$

Tím jsou proměnné x a y separované, protože x je na pravé straně rovnice a y pouze na levé.

Integrováním obou stran dostaneme

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} y}{y(1-y)}}=\int \mathrm {d} x,}$

což pomocí rozkladu na parciální zlomky převedeme na

${\displaystyle \int {\frac {1}{y}}\,\mathrm {d} y+\int {\frac {1}{1-y}}\,\mathrm {d} y=\int 1\,\mathrm {d} x,}$

a pak

${\displaystyle \ln |y|-\ln |1-y|=x+C}$

kde C je integrační konstanta. Trocha algebra dává řešení pro y:

${\displaystyle y={\frac {1}{1+Be^{-x}}}.}$

Naše řešení můžeme zkontrolovat zderivováním nalezené funkce podle proměnné x, kde B je libovolná konstanta. Výsledek se musí shodovat s původním problémem. (Při řešení rovnice uvedené výše musíme být opatrní při práci s absolutními hodnotami. Ukazuje se, že různá znaménka absolutní hodnoty přispívají postupně ke kladným a záporným hodnotám B. Případ B = 0 pochází z y = 1, jak je diskutováno níže.)

Nezapomeňte, že protože jsme dělili ${\displaystyle y}$ a ${\displaystyle (1-y)}$, musíme zkontrolovat, zda řešení ${\displaystyle y(x)=0}$ a ${\displaystyle y(x)=1}$ není také řešením (singulárním) diferenciální rovnice (v tomto případě obě tyto funkce řešením jsou).

Populační růst je často znázorněn diferenciální rovnicí

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right),}$

kde ${\displaystyle P}$ je populace s ohledem na čas ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle k}$ je rychlost růstu a ${\displaystyle K}$ je nosná kapacita prostředí.

Pro řešení této diferenciální rovnice lze použít separaci proměnných.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}$

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} P}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}=\int k\,\mathrm {d} t}$

Pro vyhodnocení integrálu na levé straně zlomek zjednodušíme

${\displaystyle {\frac {1}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}={\frac {K}{P\left(K-P\right)}}}$

a pak jej rozložíme na částečné zlomky

${\displaystyle {\frac {K}{P\left(K-P\right)}}={\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}}$

Čímž dostaneme

${\displaystyle \int \left({\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}\right)\,\mathrm {d} P=\int k\,\mathrm {d} t}$

${\displaystyle \ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}=kt+C}$

${\displaystyle \ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}=-kt-C}$

${\displaystyle \ln {\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=-kt-C}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=e^{-kt-C}}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=e^{-C}e^{-kt}}$

${\displaystyle {\frac {K-P}{P}}=\pm e^{-C}e^{-kt}}$

Nechť ${\displaystyle A=\pm e^{-C}}$.

${\displaystyle {\frac {K-P}{P}}=Ae^{-kt}}$

${\displaystyle {\frac {K}{P}}-1=Ae^{-kt}}$

${\displaystyle {\frac {K}{P}}=1+Ae^{-kt}}$

${\displaystyle {\frac {P}{K}}={\frac {1}{1+Ae^{-kt}}}}$

${\displaystyle P={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}}$

Proto řešení logistické rovnice je

${\displaystyle P\left(t\right)={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}}$

Pro nalezení ${\displaystyle A}$, položíme ${\displaystyle t=0}$ a ${\displaystyle P\left(0\right)=P_{0}}$. Pak máme

${\displaystyle P_{0}={\frac {K}{1+Ae^{0}}}}$

Vzhledem k tomu, že ${\displaystyle e^{0}=1}$, dostaneme řešení pro A

${\displaystyle A={\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}}$

Uvažujme jednorozměrnou rovnici vedení tepla:

Hraniční podmínka je homogenní, to jest

Pokusíme se hledat řešení které není identicky rovné nule, a které splňuje okrajovou podmínku ale s následující vlastností: u je součin, ve kterém je závislost u na x a t oddělena, to jest:

Substitucí u zpátky do rovnice a použitím součinového pravidla dostaneme

Protože pravá strana závisí pouze na x a levá strana pouze na t, obě strany jsou rovné nějaké konstantní hodnotě − λ. Tedy:

a

− λ zde je vlastní hodnota pro oba diferenciální operátory a T(t) a X(x) jsou odpovídající vlastní funkce.

Nyní ukážeme, že řešení pro X(x) pro hodnoty λ ≤ 0 nemůže existovat:

Předpokládejme, že λ < 0. Pak existují reálná čísla B, C taková, že

${\displaystyle X(x)=Be^{{\sqrt {-\lambda }}\,x}+Ce^{-{\sqrt {-\lambda }}\,x}.}$

Z 2 dostaneme

a proto B = 0 = C, což implikuje, že u je identicky rovno 0.

Předpokládejme, že λ = 0. Pak existují reálná čísla B, C taková, že

${\displaystyle X(x)=Bx+C.}$

Z 7 odvodíme stejným způsobem jako v 1, že u je identicky rovno 0.

Proto musí existovat případ, kdy λ > 0. Pak existují reálná čísla A, B, C taková, že

${\displaystyle T(t)=E^{-\lambda \alpha t},}$

a

${\displaystyle X(x)=B\sin({\sqrt {\lambda }}\,x)+C\cos({\sqrt {\lambda }}\,x).}$

Z 7 dostaneme C = 0 a, které pro nějaké kladné celé číslo n,

${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}=n{\frac {\pi }{L}}.}$

Toto je řešení rovnice šíření tepla ve speciálním případě, kdy závislost u má speciální tvar 3.

Obecně suma řešení 1 které vyhovují hraniční podmínce 2 také vyhovuje 1 a 3. Tudíž úplné řešení může být daný jako

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}\exp \left(-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}\right),}$

kde D_n jsou koeficienty určené počáteční podmínkou.

Je-li dána počáteční podmínka

${\displaystyle u{\big |}_{t=0}=f(x),}$

můžeme dostat

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}.}$

Toto je sinová řada rozvoje funkce f(x). Znásobením obou stran ${\displaystyle \sin {\frac {n\pi x}{L}}}$ a integrováním na [0,L] dává

${\displaystyle D_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin {\frac {n\pi x}{L}}\,\mathrm {d} x.}$

Tato metoda vyžaduje, aby vlastní funkce x, zde ${\displaystyle \left\{\sin {\frac {n\pi x}{L}}\right\}_{n=1}^{\infty }}$, byly ortogonální a úplné. To je obecně zaručeno Sturm-Liouvilleovou teorií.

Předpokládejme, že rovnice je nehomogenní

s okrajovou podmínkou stejnou jako 2.

Rozšíříme h(x,t), u(x,t) a f(x,t) na

kde h_n(t) a b_n můžeme vypočítat integrací, zatímco u_n(t) je třeba určit.

Substitujeme 9 a 10 zpátky na 8 a uvažováním ortogonality funkce sinus dostaneme

${\displaystyle u'_{n}(t)+\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}u_{n}(t)=h_{n}(t),}$

což jsou posloupnosti lineárních diferenciálních rovnic, které lze ihned řešit, například Laplaceovou transformací nebo Integrační faktor. Navíc můžeme dostat

${\displaystyle u_{n}(t)=e^{-\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}t}\left(b_{n}+\int _{0}^{t}h_{n}(s)e^{\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}s}\,\mathrm {d} s\right).}$

Jestliže je okrajová podmínka nehomogenní, pak expansion 9 a 10 není povolený. Hledáme funkci v, která vyhovuje okrajové podmínce pouze a subtract na z u. Funkce u-v pak vyhovuje homogenní okrajové podmínce a lze ji řešt výše uvedenou metodou.

Separaci proměnných lze provádět i v ortogonální křivočaré souřadnicové soustavě, ale v detailech se liší od postupu v Kartézských souřadnicích. Například podmínka regularity nebo periodicity podmínka může určovat vlastní hodnoty místo okrajových podmínek. Viz např. sférické harmonické funkce.