Singulární řešení

Uvažujme homogenní lineární obyčejnou diferenciální rovnici

${\displaystyle xy'(x)+2y(x)=0,\,\!}$

kde apostrof znamená derivaci podle x. Obecným řešením této rovnice je

${\displaystyle y(x)=Cx^{-2}.\,\!}$

Pro libovolnou hodnotu ${\displaystyle C}$ je toto řešení hladké s výjimkou bodu ${\displaystyle x=0}$, kde řešení diverguje. Navíc pro dané ${\displaystyle x\not =0}$, se jedná o jednoznačné řešení procházející bodem ${\displaystyle (x,y(x))}$.

Uvažujme diferenciální rovnici

${\displaystyle y'(x)^{2}=4y(x).\,\!}$

Jednoparametrická rodina řešení této rovnice je dána vzorcem

${\displaystyle y_{c}(x)=(x-c)^{2}.\,\!}$

Jiné řešení je dané vztahem

${\displaystyle y_{s}(x)=0.\,\!}$

Protože zkoumaná rovnice je prvního řádu, počáteční podmínkou jsou počáteční hodnoty x a y. Při uvažování uvedených dvou množin řešení vidíme, že pro ${\displaystyle y=0}$ je porušena jednoznačnost. (Lze ukázat, že jestliže pro ${\displaystyle y>0}$ vybereme jednu větev odmocniny, pak existuje lokální řešení, které je jednoznačné díky Picardově–Lindelöfově větě.) To znamená, že výše uvedená řešení jsou vesměs singulární v tom smyslu, že žádné není jednoznačné v okolí jednoho nebo více bodů. (Obvykle říkáme, že v těchto bodech je „porušena jednoznačnost“.) Pro první množinu řešení je jednoznačnost porušena v jednom bodě, ${\displaystyle x=c}$, pro druhé řešení pro každou hodnotu ${\displaystyle x}$. Řešení ${\displaystyle y_{s}}$ je tedy singulárním řešením v silnějším smyslu, že je nejednoznačné pro každou hodnotu x. Nejedná se však o singularitu, protože řešení i všechny jeho derivace jsou spojité.

V tomto příkladě je řešení ${\displaystyle y_{s}(x)=0}$ obálkou rodiny řešení ${\displaystyle y_{c}(x)=(x-c)^{2}}$. Řešení ${\displaystyle y_{s}}$ je tečnou ke každé křivce ${\displaystyle y_{c}(x)}$ v bodě ${\displaystyle (c,0)}$.

Porušení jednoznačnosti lze použít pro konstrukci více řešení. Ta lze nalézt použitím dvou konstant ${\displaystyle c_{1}<c_{2}}$ a definováním řešení ${\displaystyle y(x)}$, aby bylo ${\displaystyle (x-c_{1})^{2}}$ pro ${\displaystyle x<c_{1}}$, aby bylo ${\displaystyle 0}$ pro ${\displaystyle c_{1}\leq x\leq c_{2}}$, a aby bylo ${\displaystyle (x-c_{2})^{2}}$ pro ${\displaystyle x>c_{2}}$. Přímý výpočet ukazuje, že se jedná o řešení diferenciální rovnice v každém bodě, včetně ${\displaystyle x=c_{1}}$ a ${\displaystyle x=c_{2}}$. Pro tato řešení je jednoznačnost porušena na intervalu ${\displaystyle c_{1}\leq x\leq c_{2}}$, a řešení jsou singulární v tom smyslu, že druhá derivace neexistuje v bodech ${\displaystyle x=c_{1}}$ a ${\displaystyle x=c_{2}}$.

Předchozí příklad může dávat mylnou představu, že porušení jednoznačnosti má přímou souvislost s ${\displaystyle y(x)=0}$. Porušení jednoznačnosti je vidět také v následujícím příkladě Clairautovy rovnice:

${\displaystyle y(x)=x\cdot y'+(y')^{2}\,\!}$

Pokud použijeme substituci y' = p, pak

${\displaystyle y(x)=x\cdot p+(p)^{2}.\,\!}$

Zderivujeme podle x:

${\displaystyle p=y'=p+xp'+2pp'\,\!}$

což po jednoduché algebraické úpravě dává

${\displaystyle 0=(2p+x)p'.\,\!}$

Tato podmínka je splněna pro 2p+x=0 a pro p'=0.

Pokud p' = 0, znamená to, že y' = p = c = konstanta a obecné řešení této nové rovnice je:

${\displaystyle y_{c}(x)=c\cdot x+c^{2}\,\!}$

kde c je určeno počáteční hodnotou.

Pokud x + 2p = 0, pak dostaneme, že p = −(1/2)x a substitucí do původní rovnice dostaneme

${\displaystyle y_{s}(x)=-(1/2)x^{2}+(-(1/2)x)^{2}=-(1/4)\cdot x^{2}.\,\!}$

Nyní zkontrolujeme, kdy jsou tato řešení singulární. Jestliže se dvě řešení navzájem protínají, neboli obě procházejí stejným bodem (x,y), pak v tomto bodě dochází k porušení jednoznačnosti pro obyčejnou diferenciální rovnici prvního řádu. V tomto bodě je tedy porušena jednoznačnost, pokud řešení prvního tvaru protíná druhé řešení.

Podmínka pro průsečík je : y_s(x) = y_c(x). Abychom nalezli průsečík, řešíme rovnici

${\displaystyle c\cdot x+c^{2}=y_{c}(x)=y_{s}(x)=-(1/4)\cdot x^{2}\,\!}$

což dává ${\displaystyle (-2c,-c^{2})}$.

Můžeme ověřit, že křivky jsou v tomto bodě tečny y'_s(x) = y'_c(x). Počítáme derivace:

${\displaystyle y_{c}'(-2\cdot c)=c\,\!}$

${\displaystyle y_{s}'(-2\cdot c)=-(1/2)\cdot x|_{x=-2\cdot c}=c.\,\!}$

Tudíž,

${\displaystyle y_{s}(x)=-(1/4)\cdot x^{2}\,\!}$

je tečnou ke každému členu jednoparametrické rodiny řešení

${\displaystyle y_{c}(x)=c\cdot x+c^{2}\,\!}$

této Clairautovy rovnice:

${\displaystyle y(x)=x\cdot y'+(y')^{2}.\,\!}$

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Singular solution na anglické Wikipedii.

• ROZOV, N.Kh. Singular_solution, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics. [s.l.]: Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.

• Obálka (matematika)
• Počáteční úloha
• Carathéodoryho existenční věta
• Peanova existenční věta
• Picardova–Lindelöfova věta
• Cauchyho úloha