Sférické harmonické funkce
Sférické harmonické funkce jsou ortogonální řešení úhlové části Laplaceovy rovnice vyjádřená ve sférických souřadnicích. Mají využití v mnoha oblastech matematiky a fyziky - např. jsou vhodné pro snadné vyjádření multipólového rozvoje v elektrostatice, pro řešení Schrödingerovy rovnice pro atom vodíku, pro velmi dobrou aproximaci gravitačního pole Země v její blízkosti či pro analýzu reliktního záření.
Úvod
Laplaceova rovnice ve sférických souřadnicích je:
(viz sférická soustava souřadnic).
Separace proměnných vede k řešení vyjádřitelnému v goniometických funkcích a Legendrových polynomech.
Obecné řešení, které je konečné s r jdoucím k nekonečnu je lineární kombinací funkcí ve tvaru
a
kde jsou přidružené Legendrovy polynomy s celočíselnými parametry a m od 0 do .
Jinými slovy řešení s celočíselnými parametry a m od do lze psát jako lineární kombinaci:
kde funkce Y jsou sférické harmonické funkce s parametry l, m, které lze psát jako:
Sférické harmoniky splňují normalizační podmínku (δaa = 1 a δab = 0 pokud a ≠ b)
platí pro ně
a splňují relace úplnosti
kde δ(x) je Diracova delta funkce.
Y1 | ||
Y2 | ||
Y3 |
Alternativní sadu sférických harmonik bez imaginární části získáme jako
a
a
Sférické harmoniky vyjádřené v kartézských souřadnicích vyjádříme dosazením
- .
Prvních několik sférických harmonik
Zde jsou první sférické harmoniky:
Související články
Externí odkazy
- Obrázky, zvuky či videa k tématu Sférické harmonické funkce na Wikimedia Commons