Pravděpodobnostní vytvořující funkce

Pokud X je diskrétní náhodná proměnná nabývající nezáporných celočíselných hodnot {0,1, ...}, pak pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodné proměnné X je definována jako[1]

${\displaystyle G(z)=\operatorname {E} (z^{X})=\sum _{x=0}^{\infty }p(x)z^{x},}$

kde p je pravděpodobnostní funkce náhodné proměnné X. Jméno náhodné proměnné se často doplňuje jako dolní index: G_X a p_X, aby se zdůraznilo, že se funkce týkají určité náhodné proměnné X a jejího rozdělení pravděpodobnosti. Mocninná řada konverguje absolutně alespoň pro všechna komplexní čísla z s |z| ≤ 1; v mnoha případech je poloměr konvergence větší.

Pokud X = (X₁,...,X_d ) je diskrétní náhodná proměnná nabývající hodnoty v d-rozměrné nezáporné celočíselné mřížce {0,1, ...}^d, pak pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodné proměnné X je definována jako

${\displaystyle G(z)=G(z_{1},\ldots ,z_{d})=\operatorname {E} {\bigl (}z_{1}^{X_{1}}\cdots z_{d}^{X_{d}}{\bigr )}=\sum _{x_{1},\ldots ,x_{d}=0}^{\infty }p(x_{1},\ldots ,x_{d})z_{1}^{x_{1}}\cdots z_{d}^{x_{d}},}$

kde p je pravděpodobnostní funkce náhodné proměnné X. Mocninná řada konverguje absolutně alespoň pro všechny komplexní vektory z = (z₁,...,z_d ) ∈ ℂ^d s max{|z₁|,...,|z_d |} ≤ 1.

Pro pravděpodobnostní vytvořující funkci platí všechna pravidla pro mocninné řady s nezápornými koeficienty. Konkrétně G(1⁻) = 1, kde G(1⁻) = lim_z→1G(z) zdola, protože součet pravděpodobností musí být roven jedné. Podle Abelovy věty pro mocninné řady s nezápornými koeficienty musí být poloměr konvergence jakékoli pravděpodobnostní vytvořující funkce alespoň 1.

Následující vlastnosti umožňují odvození různých základních veličin vycházejících z X:

1. Pravděpodobnostní funkci náhodné proměnné X lze získat z derivací funkce G,
      ${\displaystyle p(k)=\operatorname {Pr} (X=k)={\frac {G^{(k)}(0)}{k!}}.}$
2. Z vlastnosti 1 plyne, že pokud náhodné proměnné X a Y mají stejné pravděpodobnostní vytvořující funkce (G_X = G_Y), pak p_X = p_Y. Čili pokud X a Y mají stejné pravděpodobnostní vytvořující funkce, pak mají stejné rozdělení.
3. Normalizaci hustoty pravděpodobnosti lze vyjádřit pomocí vytvořující funkce
      ${\displaystyle \operatorname {E} (1)=G(1^{-})=\sum _{i=0}^{\infty }p(i)=1.}$
   střední (očekávaná) hodnota náhodné proměnné X je
      ${\displaystyle \operatorname {E} (X)=G'(1^{-}).}$
   Obecněji k-tý faktoriálový moment, ${\displaystyle \operatorname {E} (X(X-1)\cdots (X-k+1))}$ náhodné proměnné X je
      ${\displaystyle \operatorname {E} \left({\frac {X!}{(X-k)!}}\right)=G^{(k)}(1^{-}),\quad k\geq 0.}$
   Takže rozptyl náhodné proměnné X je
      ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=G''(1^{-})+G'(1^{-})-\left[G'(1^{-})\right]^{2}.}$
   Navíc k-tý obecný moment náhodné proměnné X je
       ${\displaystyle \operatorname {E} (X^{k})=\left(z{\frac {\partial }{\partial z}}\right)^{k}G(z){\Big |}_{z=1^{-}}}$
4. Platí ${\displaystyle G_{X}(e^{t})=M_{X}(t)}$, kde X je náhodná proměnná, ${\displaystyle G_{X}(t)}$ je pravděpodobnostní vytvořující funkce (náhodné proměnné X) a ${\displaystyle M_{X}(t)}$ je momentová vytvořující funkce (náhodné proměnné X) .

Pravděpodobnostní vytvořující funkce jsou užitečné pro práci s funkcemi nezávislých náhodných proměnných. Například:

• Pokud X₁, X₂, ..., X_N je posloupnost nezávislých náhodných proměnných (které mohou mít i různá rozdělení pravděpodobnosti) a

${\displaystyle S_{N}=\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i},}$

kde a_i jsou konstanty, pak pravděpodobnostní vytvořující funkce je

${\displaystyle G_{S_{N}}(z)=\operatorname {E} (z^{S_{N}})=\operatorname {E} \left(z^{\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i},}\right)=G_{X_{1}}(z^{a_{1}})G_{X_{2}}(z^{a_{2}})\cdots G_{X_{N}}(z^{a_{N}}).}$

Jestliže například

${\displaystyle S_{N}=\sum _{i=1}^{N}X_{i},}$

pak pravděpodobnostní vytvořující funkce G_SN(z), je

${\displaystyle G_{S_{N}}(z)=G_{X_{1}}(z)G_{X_{2}}(z)\cdots G_{X_{N}}(z).}$

Z uvedeného také plyne, že pravděpodobnostní vytvořující funkce rozdílu dvou nezávislých náhodných proměnných S = X₁ − X₂ je

${\displaystyle G_{S}(z)=G_{X_{1}}(z)G_{X_{2}}(1/z).}$

• Předpokládejme, že N je také nezávislá diskrétní náhodná proměnná nabývající nezáporných celočíselných hodnot s pravděpodobnostní vytvořující funkcí G_N. Pokud X₁, X₂, ..., X_N jsou nezávislé náhodné veličiny se stejným rozdělením pravděpodobnosti a s obvyklou pravděpodobnostní vytvořující funkcí G_X, pak

${\displaystyle G_{S_{N}}(z)=G_{N}(G_{X}(z)).}$

To plyne z věty o celkové střední hodnotě:

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{S_{N}}(z)&=\operatorname {E} (z^{S_{N}})=\operatorname {E} (z^{\sum _{i=1}^{N}X_{i}})\\[4pt]&=\operatorname {E} {\big (}\operatorname {E} (z^{\sum _{i=1}^{N}X_{i}}\mid N){\big )}=\operatorname {E} {\big (}(G_{X}(z))^{N}{\big )}=G_{N}(G_{X}(z)).\end{aligned}}}$

Tento poslední fakt je užitečný při studiu Galtonových–Watsonových procesů a složených Poissonových procesů.

• Opět předpokládejme, že N je nezávislá diskrétní náhodná proměnná nabývající nezáporné celočíselné hodnoty s pravděpodobnostní vytvořující funkcí G_N a hustotou pravděpodobnosti ${\displaystyle f_{i}=\Pr\{N=i\}}$. Pokud X₁, X₂, ..., X_N jsou nezávislé náhodné proměnné, které nemají stejné rozdělení, a ${\displaystyle G_{X_{i}}}$ jsou pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodné proměnné ${\displaystyle X_{i}}$, pak

${\displaystyle G_{S_{N}}(z)=\sum _{i\geq 1}f_{i}\prod _{k=1}^{i}G_{X_{i}}(z).}$

Pro X_i se stejným rozdělením se vzorec zjednodušuje na identitu uvedenou výše. Obecný případ bývá užitečný pro získání rozkladu S_N pomocí vytvořující funkce.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Probability-generating function na anglické Wikipedii.

• JOHNSON, N.L.; KOTZ, S.; KEMP, A.W. Univariate Discrete distributions. 2. vyd. [s.l.]: Wiley, 1993. ISBN 0-471-54897-9.