Vytvořující funkce (posloupnost)

Vytvořující (též generující) funkce posloupnosti $\{a_{i}\}$ je mocninná řada, která v sobě obsahuje informaci o dané posloupnosti. Vytvořující funkce tedy umožňuje popsat posloupnost a pracovat s ní prostřednictvím funkce, která v sobě obsahuje veškeré informace o dané posloupnosti.

Definice

Obyčejnou vytvořující funkci posloupnosti $(a_{0},a_{1},a_{2},...)$ zapíšeme jako

a(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}

Jedná o tzv. otevřený tvar vytvořující funkce. Poznáme ho tak, že je v něm nekonečný součet (což se nám nemusí příliš líbit). Proto často chceme nalézt tzv. uzavřený tvar, ve kterém se nekonečný součet nevyskytuje.

Vysvětlení na praktické ukázce

Mějme např. posloupnost

(1,1,1,1,1,...)

Pak její vytvořující funkci lze zapsat (na intervalu, ve kterém tato řada konverguje) jako:

a(x)=1+1x+1x^{2}+...

Uzavřený tvar této funkce lze snadno odvodit z obecného vztahu pro součet geometrické posloupnosti:

{1} \over {1-x}

Tyto dva tvary spolu souvisí tak, že když do nich doplníme za $x$ libovolné reálné číslo z intervalu (-1,1) tzn. |x|<1, pro které uvedená mocninná řada konverguje, vyjde nám v obou tvarech vždy naprosto stejný výsledek.

Například doplníme $x=0.5$ , pak nám vyjde součet otevřeného tvaru vytvořující funkce:

a(0.5)=1+0.5+0.5^{2}+0.5^{3}+...=1+0.5+0.25+0.125+...=2

A pro stejné $x=0.5$ vyjde uzavřený tvar taktéž:

{{1} \over {1-0.5}}=2

Vytvořující funkci této jednoduché posloupnosti lze dále považovat za klíčovou pro odvození uzavřených tvarů složitějších posloupností.

Například derivací řady $a(x)=1+1x+1x^{2}+1x^{3}+...$ získáme řadu $b(x)=0+1+2x+3x^{2}+...$

Pokud tedy zderivujeme uzavřený tvar $a(x)$ dostaneme

a(x)'=b(x)={{1} \over {(1-x)^{2}}}

Tato nová odvozená funkce představuje posloupnost $(1,2,3,4,5,...)$

Podobnými úpravami lze postupně odvodit vytvořující funkce i pro vybrané posloupnosti (viz tabulka níže).

Výpočet koeficientu posloupnosti z vytvořující funkce

Máme-li vytvořující funkci ve tvaru ${1} \over {(1-x)^{n}}$ , vypočítáme požadovaný koeficient $a_{k}$ následovně:

a_{k}=C_{n-1+k}^{n-1}={\begin{pmatrix}n-1+k\\n-1\end{pmatrix}}

Nebo lze pro $(1+x)^{-n}$ použít tento vzoreček

a_{k}=C_{-n}^{k}=(-1)^{k}*C_{n+k-1}^{k}

Příklad

Hledáme koeficient $a_{8}$ u vytv. fce $(1-x)^{-3}={{1} \over {(1-x)^{3}}}$ :

a_{8}=C_{3-1+8}^{3-1}=C_{10}^{2}=45

Poznámka: Výpočet hodnoty koeficientu u tohoto typu vytvořující funkce vychází ze zobecněné binomické věty.

Vybrané posloupnosti a jejich vytvořující funkce

posloupnost	vytv. fce pro $x\in (-1;1)$
$\left(1,1,1,1,...\right)$	${1} \over {1-x}$
$\left(1,-1,1,-1,...\right)$	${1} \over {1+x}$
$\left(1,0,1,0,...\right)$	${1} \over {1-x^{2}}$
$\left(1,0,...,0,1,0,...,0,1,0,...\right)$	${1} \over {1-x^{n}}$
$\left(1,2,3,4,5,...\right)$	${1} \over {(1-x)^{2}}$
$\left(1,k,k^{2},k^{3},k^{4},...\right)$	${1} \over {1-kx}$
$\left(1,{\begin{pmatrix}k\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}k\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}k\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}k\\4\end{pmatrix}},...\right)$	$\left(1+x\right)^{k}$
$\left(1,k,{\begin{pmatrix}k-1\\k-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}k\\k-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}k+1\\k-1\end{pmatrix}},...\right)$	${1} \over {\left(1-x\right)^{k}}$
$\left(0,1,{{1} \over {2}},{{1} \over {3}},{{1} \over {4}},...\right)$	$\ln {1 \over {1-x}}$
$\left(0,1,-{{1} \over {2}},{{1} \over {3}},-{{1} \over {4}},...\right)$	$\ln \left(1+x\right)$
$\left(1,1,{{1} \over {2}},{{1} \over {6}},{{1} \over {24}},{{1} \over {120}},...,{{1} \over {k!}},...\right)$	$e^{x}$

Odkazy

Související články

Externí odkazy

Vytvořující funkce ve studijních textech semináře MKS MFF UK

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.