Jednostranná limita

Obě jednostranné limity existují a jsou si rovné, jestliže limita funkce f(x) pro x blížící se hodnotě a existuje. V některých případech, kdy limita

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)\,}$

neexistuje, mohou existovat obě jednostranné limity. Proto se limita pro x blížící se k bodu a bez omezení z jaké strany někdy nazývá „oboustranná limita“.

V některých případech jedna jednostranná limita existuje a druhá ne, v některých případech neexistuje ani jedna.

Limitu zprava lze přesně definovat jako

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I\;(0<x-a<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ),}$

a limita zleva jako

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I\;(0<a-x<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ),}$

kde I je interval v definičním oboru funkce f.

Příklad funkce, která má v bodě 0 dvě různé jednostranné limity:

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over 1+2^{-1/x}}=1,}$

zatímco

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{1 \over 1+2^{-1/x}}=0.}$

Jednostranná limita v bodě p odpovídá obecné definici limity, s definiční oborem funkce omezeným na jednu stranu; buď omezením, kdy definiční obor funkce je podmnožinou topologického prostoru nebo uvažováním jednostranného podprostoru obsahujícího p. Alternativně můžeme uvažovat definiční obor s topologií polootevřených intervalů.

Významná věta zabývající se jednostrannými limitami určitých mocninných řad na hranicích jejich poloměru konvergence je Abelova věta.