Desítková soustava

• Kladné číslo racionální ${\displaystyle r=a/b>0}$, kde ${\displaystyle a,b}$ jsou čísla celá, má
  • buď zápis konečný, tj. v zápisu (2) výše je ${\displaystyle m<\infty }$, a to právě tehdy, když je ${\displaystyle a=2^{e}5^{f}}$, kde ${\displaystyle e>0,f>0}$ jsou čísla celá,
  • anebo nekonečný, ale periodický ve tvaru

${\displaystyle r=XdYZZZZZ\dots \equiv XdY{\overline {Z}}}$, kde ${\displaystyle X,Y,Z}$ jsou konečné posloupnosti ${\displaystyle n_{X},n_{Y},n_{Z}}$ číslic analogické dřívější ${\displaystyle X}$ a pruh nad ${\displaystyle Z}$ značí opakování celé posloupnosti ${\displaystyle n_{Z}}$ číslic tvořících ${\displaystyle Z}$. Nazývají se [6][7]předčíslí (předperioda) ${\displaystyle Y}$ a občíslí (perioda) ${\displaystyle Z}$, zatímco ${\displaystyle X}$ je celá část čísla ${\displaystyle r}$. Označíme-li ${\displaystyle s}$ hodnotu čísla ${\displaystyle XdY}$ a ${\displaystyle t}$ hodnotu celého čísla ${\displaystyle Z}$, pak platí
(3)     ${\displaystyle r=s+{\frac {t}{10^{n_{Y}}(10^{n_{Z}}-1)}}}$.
Příklady:
${\displaystyle 55/13=4,\!2307692307692307\dots =4,\!{\overline {230769}}=4+{\frac {230769}{999999}}}$ , ale také
${\displaystyle \qquad \qquad \ =4,\!2307{\overline {692307}}=4,\!2307+{\frac {692307}{9999990000}}}$ apod.

• Aritmetická hodnota čísla se nezmění připojením libovolného (i nekonečného) počtu nul za konečný zápis typu ${\displaystyle r=XdY}$, tedy ${\displaystyle r=XdY=XdY0=XdY00=\dots =XdY{\overline {0}}}$. Rozdíl však je v případě čísel zaokrouhlených, kde je podstatný počet platných číslic.
• Protože ${\displaystyle 1=0,\!{\overline {9}}}$, lze každý zápis s občíslím ${\displaystyle {\overline {9}}}$ zapsat bez občíslí tak, že zvětšíme o 1 poslední číslici menší než 9, která stojí před posloupností tvořenou jen číslicí 9, a následující číslice 9 nahradíme 0, jde-li o celou část čísla, resp. vynecháme, jde-li o předčíslí. Pokud by zbylo předčíslí prázdné, vynecháme i desetinnou značku ${\displaystyle d}$.

Příklady:
${\displaystyle 12\,399,\!{\overline {9}}=12\,400}$
${\displaystyle 12\,345,\!6{\overline {9}}=12\,345,\!7}$

• Analogická pravidla platí pro čísla záporná. Zpracujeme nejprve absolutní hodnotu čísla, pak připojíme znamínko.

${\displaystyle -12\,345,\!6{\overline {9}}=-12\,345,\!7}$

Aritmetická hodnota čísel ${\displaystyle a=12,\!3}$ a ${\displaystyle b=12,\!300}$ je stejná, tedy ${\displaystyle a=b}$. Pokud však jde o numerickou matematiku pracující se zaokrouhlenými čísly a o její aplikace v praxi (např. hodnota změřené fyzikální veličiny), je mezi čísly rozdíl, protože ${\displaystyle b}$ má 5 platných číslic, zatímco ${\displaystyle a}$ jen 3. Bezpečnější zápis v takových případech je ${\displaystyle a=12,\!30(5)}$ a ${\displaystyle b=12,\!300\,0(5)}$. Celé číslo uvedené za hodnotou v závorce (může mít i více míst) udává nejistotu či chybu čísel ${\displaystyle a,b}$ a jeho poslední číslice odpovídá poslední číslici předcházejícího čísla. Hodnotou čísla ${\displaystyle b}$ může tedy být libovolné z čísel ležících v intervalu ${\displaystyle 12,\!299\,5}$ až ${\displaystyle 12,\!300\,5}$. Podobně např. hodnotou čísla ${\displaystyle c=1,\!234\,567(12)}$ může být libovolné z čísel ležících v intervalu ${\displaystyle 1,\!234\,555}$ až ${\displaystyle 1,\!234\,579}$. Podrobnosti viz platné číslice.

• Předpona soustavy SI
• Krátká a dlouhá škála
• Velká čísla

• Obrázky, zvuky či videa k tématu desítková soustava na Wikimedia Commons
• Výukový kurs Číselné soustavy/Desítková soustava ve Wikiverzitě