Poziční číselná soustava

Klíčovou charakteristikou pozičních soustav je jejich základ. To je obvykle přirozené číslo větší než jedna. Váhy jednotlivých číslic jsou pak mocninami tohoto základu. Zároveň základ určuje počet symbolů pro číslice používaných v dané soustavě. Základ obvykle značíme z, v literatuře se však lze setkat i se značením jako r z anglického „radix“.

V pozičních číselných soustavách má také smysl mluvit o řádech čísel. Kde za řád číslice považujeme její váhu a za řád čísla maximální váhu nenulové číslice.

Názvy soustav se v češtině tvoří odvozením ze jména pro číslice (dvojice číslic, ...), které by zapsaly základ soustavy v desítkové soustavě, např. dvojková, osmičková (desítková, šestnáctková, ...) číselná soustava. Samu tuto číslici tak (paradoxně) neobsahují - základ se v nich zapíše jako jednička a nula: 10.

Nejběžnější desítková soustava, nazvaná podle svého základu (10), má deset symbolů pro číslice: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9. Váhy jednotlivých číslic jsou mocniny čísla 10: …; 1000; 100; 10; 1; 0,1; 0,01; … Pro soustavy o vyšším základu než je tradiční počet číslic (tedy deset) se pro vyšší číslice používají písmena bez akcentů. Například šestnáctková soustava tak má symboly: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E a F.

V běžně používaných číselných soustavách se jednotlivé číslice zapisují za sebe podle klesajícího řádu, nijak se neoddělují. Řádová čárka (tečka) odděluje celou a zlomkovou část čísla, není-li uvedena, značí zápis číslo celé. Někdy se pro přehlednost oddělují také významnější řády: tisíce, milióny, apod. Číslo ${\displaystyle N}$ v soustavě o základu ${\displaystyle r}$ se tak zapisuje:

${\displaystyle N=(n_{k-1}n_{k-2}...n_{1}n_{0}{,}n_{-1}n_{-2}...n_{-l})_{r}\,\!}$, kde ${\displaystyle n_{k-1}\neq 0\,\!}$ je nejvyšší platná číslice, ${\displaystyle n_{-l}\neq 0\,\!}$ nejnižší platná číslice (existuje-li takové konečné ${\displaystyle l}$) a ${\displaystyle r}$ základ číselné soustavy.

Takovému zápisu se říká prostě poziční zápis, protože pozice každé číslice v daném čísle představuje její relativní váhu významnosti. Přitom se porovná s jednotkou (nultou mocninou základu) tím, že se za jednotky píše řádová čárka (tečka) (není-li uvedena, jsou posledním řádem vždy jednotky a není-li nejnižší platná číslice jednotkového řádu, musí být nižší řády až do jednotek doplněny nulami).

V případě desítkové soustavy se číslo dle konvence nezapisuje do závorek, ani není nutné k němu psát jeho základ.

Například Ludolfovo číslo v číselné soustavě o základu 10 a s přesností na 2 desetinná čísla lze zapsat pozičně následovně: ${\displaystyle \pi =(3{,}14)_{10}\,\!}$

Hodnotu čísla ${\displaystyle N}$ zapsanáho v dané soustavě o základu ${\displaystyle r}$ získáme jako součet hodnot jednotlivých číslic vynásobených jejich vahou. Každá číslice ${\displaystyle n_{i}}$ je zde vynásobena vahou, která je dána její pozicí ${\displaystyle i}$ a která je vyjádřena mocninou o základu ${\displaystyle r}$. Takovému zápisu se říká polynomiální zápis (také polynomický).

Obecně lze tedy zapsat číslo v číselné soustavě o základu ${\displaystyle r}$ polynomem následovně:

${\displaystyle N=\sum _{i=-l}^{k-1}n_{i}{\cdot }r^{i}=n_{k-1}r^{k-1}+n_{k-2}r^{k-2}+...+n_{0}r^{0}+n_{-1}r^{-1}+...+n_{-l+1}r^{-l+1}+n_{-l}r^{-l}}$

Například hodnotu čísla (10010)₂ získáme takto:

${\displaystyle (10010)_{2}=0\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{4}=0+2+0+0+16=18}$

a obdobně z šestnáctkové soustavy pro číslo (132)₁₆:

${\displaystyle (132)_{16}=2\cdot 16^{0}+3\cdot 16^{1}+1\cdot 16^{2}=2+48+256=306}$

Postup pro zápis čísla v dané číselné soustavě se liší pro jeho celou a zlomkovou část.

Pro převod čísla mezi soustavami lze použít substituční metodu při použití aritmetiky cílové soustavy a nebo pro celá čísla metodu dělení základem a pro zlomková čísla (zlomkovou část) metodu násobení základem.

Běžný postup při převodu čísel mezi dvěma číselnými soustavami je převod přes desítkovou soustavu.

Pokud však základ jedné soustavy je mocninou základu soustavy druhé, lze postupovat i přímo.
Obvykle se tento postup používá při převodu mezi dvojkovou a šestnáctkovou soustavou. Protože je 16 = 2⁴ odpovídá každým čtyřem číslicím dvojkového čísla právě jedna číslice šestnáctková a lze je převádět (např. z 16 na 2) podle jednoduché přiřazovací tabulky, případně i zpaměti. V daném případě při převodu ze základu 2 na základ 16 je (1001)₂ = (9)₁₆ a (0001)₂ = (1)₁₆ a proto (10010001)₂ = (91)₁₆.

• Nepoziční číselná soustava
• Číselná soustava