Vytvořující funkce (posloupnost)
Vytvořující (též generující) funkce posloupnosti je mocninná řada, která v sobě obsahuje informaci o dané posloupnosti. Vytvořující funkce tedy umožňuje popsat posloupnost a pracovat s ní prostřednictvím funkce, která v sobě obsahuje veškeré informace o dané posloupnosti.
Definice
Obyčejnou vytvořující funkci posloupnosti zapíšeme jako
Jedná o tzv. otevřený tvar vytvořující funkce. Poznáme ho tak, že je v něm nekonečný součet (což se nám nemusí příliš líbit). Proto často chceme nalézt tzv. uzavřený tvar, ve kterém se nekonečný součet nevyskytuje.
Vysvětlení na praktické ukázce
Mějme např. posloupnost
Pak její vytvořující funkci lze zapsat (na intervalu, ve kterém tato řada konverguje) jako:
Uzavřený tvar této funkce lze snadno odvodit z obecného vztahu pro součet geometrické posloupnosti:
Tyto dva tvary spolu souvisí tak, že když do nich doplníme za libovolné reálné číslo z intervalu (-1,1) tzn. |x|<1, pro které uvedená mocninná řada konverguje, vyjde nám v obou tvarech vždy naprosto stejný výsledek.
Například doplníme , pak nám vyjde součet otevřeného tvaru vytvořující funkce:
A pro stejné vyjde uzavřený tvar taktéž:
Vytvořující funkci této jednoduché posloupnosti lze dále považovat za klíčovou pro odvození uzavřených tvarů složitějších posloupností.
Například derivací řady získáme řadu
Pokud tedy zderivujeme uzavřený tvar dostaneme
Tato nová odvozená funkce představuje posloupnost
Podobnými úpravami lze postupně odvodit vytvořující funkce i pro vybrané posloupnosti (viz tabulka níže).
Výpočet koeficientu posloupnosti z vytvořující funkce
Máme-li vytvořující funkci ve tvaru , vypočítáme požadovaný koeficient následovně:
Nebo lze pro použít tento vzoreček
Příklad
Hledáme koeficient u vytv. fce :
Poznámka: Výpočet hodnoty koeficientu u tohoto typu vytvořující funkce vychází ze zobecněné binomické věty.
Vybrané posloupnosti a jejich vytvořující funkce
posloupnost | vytv. fce pro |
---|---|