Ampérův zákon

Ampérův zákon lze zapsat pro stacionární elektromagnetické pole v integrálním tvaru vztahem:

${\displaystyle \oint _{C}{\boldsymbol {B}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\mu _{0}\;I_{\mathrm {celk} }}$

kde

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ je magnetická indukce,

${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}}$ infinitezimální orientovaný element jednoduché uzavřené křivky C,

${\displaystyle I_{\mathrm {celk} }\,}$ je celkový proud protékající skrz libovolnou plochu s hranicí C,

${\displaystyle \mu _{0}\!}$ je permeabilita vakua

${\displaystyle \oint _{C}}$ je uzavřený křivkový integrál křivky C, orientovaný ve směru toku elektrického proudu.

V oblastech prostoru, kde lze považovat prostorové rozložení elektrického proudu za spojité (v makroskopickém smyslu), popsatelné hustotou celkového elektrického proudu ${\displaystyle {\boldsymbol {j}}_{\mathrm {celk} }\,}$, lze Ampérův zákon přepsat do diferenciálního tvaru:

${\displaystyle \operatorname {rot} \,{\boldsymbol {B}}=\mu _{0}\;{\boldsymbol {j}}_{\mathrm {celk} }}$.

Výše uvedené vztahy pro vakuum platí i pro látkové prostředí, je však nutno uvážit, že v látce se nevyskytují pouze volné proudy ${\displaystyle I_{\mathrm {vol} }\,}$, ale také proudy vázané, které souvisejí s magnetizací látky; proto je nutno do celkového proudu započítat i magnetizační proudy ${\displaystyle I_{\mathrm {mag} }\,}$, tedy Ampèrem formálně zavedené elementární proudy, kterými jsou generovány magnetické dipólové momenty částic látky a jimi způsobená magnetizace. (Pro fenomenologickou elektrodynamiku je takový popis plně ekvivalentní popisu pomocí magnetických dipólů, třebaže naráží na interpretační problémy u částic dosud považovaných za bodové.) Je obvyklé zákon přepsat do tvaru s explicitně vyjádřenými pouze volnými proudy:

Protože platí pro magnetizační proudy odpovídající magnetizaci ${\displaystyle \mathbf {M} }$ vztah

${\displaystyle I_{\mathrm {mag} }=\oint _{C}{\boldsymbol {M}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}}$,

tak po jeho dosazení do Ampérova zákona celkového proudu

${\displaystyle \oint _{C}{\boldsymbol {B}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\mu _{0}\left(I_{\mathrm {vol} }+I_{\mathrm {mag} }\right)}$

lze jednoduchou úpravou obdržet vztah:

${\displaystyle \oint _{C}\left({\frac {\boldsymbol {B}}{\mu _{0}}}-{\boldsymbol {M}}\right)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=I_{\mathrm {vol} }}$

a po zavedení intenzity magnetického pole ${\displaystyle {\boldsymbol {H}}={\frac {\boldsymbol {B}}{\mu _{0}}}-{\boldsymbol {M}}}$ ho zjednodušit na Ampérův zákon pro volné proudy:

${\displaystyle \oint _{C}{\boldsymbol {H}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=I_{\mathrm {vol} }}$

V oblastech prostoru, kde lze považovat prostorové rozložení elektrického proudu za spojité (v makroskopickém smyslu), popsatelné hustotou elektrického proudu, lze Ampérův zákon přepsat do diferenciálního tvaru:

${\displaystyle \operatorname {rot} \,{\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {j}}_{\mathrm {vol} }}$.

Protože rotace je lineární operátor, plyne z Ampérova zákona celkového proudu, že pro stacionární magnetické pole platí princip superpozice: Stacionární magnetická pole (reprezentovaná magnetickou indukcí ${\displaystyle \mathbf {B} \,}$) vytvořená jednotlivými proudy se vzájemně neovlivňují a lze je tedy (vektorově) sčítat.

Magnetický obvod s magnetomotorickým napětím ${\displaystyle U_{\mathrm {m} }=N\cdot {I}}$

Ampérův zákon ve formulaci pro intenzitu magnetického pole je analogický vztahu pro napětí v uzavřené proudové trubici, jen namísto intenzity elektrického pole vystupuje intenzita magnetického pole a obdobou elektromotorického napětí způsobujícího napěťový spád v trubici je celkový volný proud. Této analogie lze s výhodou využít pro řešení magnetických soustav v látkovém prostředí.

Zvolíme nyní integrační křivku tak, aby byla totožná s magnetickou indukční čarou. Kolem této čáry si představíme trubici konstantního kolmého průřezu ${\displaystyle S\,}$ takové velikosti, aby v celém tomto průřezu bylo možno považovat magnetickou indukci za konstantní. Tato trubice přitom může procházet prostředím s různou permeabilitou ${\displaystyle \mu \,}$ – integrál lze rozdělit na součet integrálů přes části s konstantní permeabilitou. Ampérův zákon pak můžeme přepsat na tvar:

${\displaystyle I_{\mathrm {vol} }=\sum _{i}\int _{l_{i}}{\boldsymbol {H}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\Phi \sum _{i}\int _{l_{i}}{\frac {\mathrm {d} l}{\mu _{i}S}}}$ ,

kde ${\displaystyle \Phi \,}$ je magnetický tok, v tomto případě roven prostému součinu indukce a plochy průřezu (obojí je konstantní).

Definujeme-li magnetomotorické napětí ${\displaystyle U_{\mathrm {m} }}$ vztahem

${\displaystyle U_{\mathrm {m} }=I_{\mathrm {vol} }\,}$

a tzv. magnetický odpor (též reluktance) i-té části vztahem:

${\displaystyle R_{\mathrm {m} i}=\int _{l_{i}}{\frac {\mathrm {d} l}{\mu _{i}S}}\;}$ ,

dostaneme jako obdobu Ohmova zákona – tzv. Hopkinsonův zákon:

${\displaystyle U_{\mathrm {m} }=\Phi \sum _{i}R_{\mathrm {m} i}\,}$.

Díky analogii tak můžeme s magnetickými obvody pracovat stejně jako s elektrickými, včetně použití Kirchhoffových zákonů.

V oblastech prostoru bez volných elektrických proudů se Ampérův zákon ve formulaci pro intenzitu magnetického pole v diferenciálním tvaru redukuje na tvar:

${\displaystyle \operatorname {rot} \;{\boldsymbol {H}}=0\,}$.

Z něho vyplývá, že magnetostatické pole generované pouze zmagnetovanými tělesy je pole potenciálové a lze k němu zavést skalární magnetický potenciál ${\displaystyle \varphi _{\mathrm {m} }\,}$. Budou pak platit vztahy obdobné vztahům v elektrostatice:

${\displaystyle {\boldsymbol {H}}=-\operatorname {grad} \;\varphi _{\mathrm {m} }}$, resp.

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}=-\mu _{0}\;\operatorname {grad} \;\varphi _{\mathrm {m} }+\mu _{0}\;{\boldsymbol {M}}}$.