Limitní bod

Nechť ${\displaystyle S}$ je podmnožina topologického prostoru ${\displaystyle X.}$ Její prvek ${\displaystyle x\in X}$ je limitním bodem (nebo hromadným bodem) množiny ${\displaystyle S}$, pokud každé jeho okolí obsahuje alespoň jeden bod množiny ${\displaystyle S}$ různý od ${\displaystyle x}$.

Není žádný rozdíl, zda omezujeme podmínku pouze na otevřené okolí. Často je pohodlné používat definici s „otevřeným okolím“, pro demonstraci, že určitý bod je limitním bodem, a používat definici s „obecným okolím“ pro odvozování faktů ze známého limitního bodu.

Pokud ${\displaystyle X}$ je ${\displaystyle T_{1}}$ prostor (což platí pro každý metrický prostor), pak ${\displaystyle x\in X}$ je limitní bod množiny ${\displaystyle S}$ právě tehdy, když každé okolí bodu ${\displaystyle x}$ obsahuje nekonečně mnoho bodů množiny ${\displaystyle S.}$[6] ${\displaystyle T_{1}}$ prostory jsou charakterizovány právě touto vlastností.

Pokud ${\displaystyle X}$ je Fréchetův–Urysohnův prostor (což platí pro každý metrický prostor nebo first-countable prostor), pak ${\displaystyle x\in X}$ je limitním bodem množiny ${\displaystyle S}$ právě tehdy, když existuje posloupnost bodů v ${\displaystyle S\setminus \{x\},}$ jejíž limitou je ${\displaystyle x.}$ Fréchetovy–Urysohnovy prostory jsou charakterizovány právě touto vlastností.

Množina limitních bodů množiny ${\displaystyle S}$ se nazývá derivace množiny ${\displaystyle S.}$

Každá posloupnost ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ v ${\displaystyle X}$ je z definice pouhým zobrazením ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$, takže jeho obraz ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }:=\left\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \right\}}$ lze definovat obvyklým způsobem.

• Pokud existuje prvek ${\displaystyle x\in X}$, který se v posloupnosti objevuje nekonečně mnohokrát, pak tento ${\displaystyle x}$ je hromadným bodem posloupnosti. Ale ${\displaystyle x}$ nemusí být hromadným bodem odpovídající množiny ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$ Pokud například posloupnost je konstantní posloupností s hodnotami ${\displaystyle x,}$ máme ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }=\{x\}}$ a ${\displaystyle x}$ je izolovaným bodem ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }}$, a ne hromadným bodem ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

• Pokud se žádný prvek neobjevuje nekonečně mnohokrát v posloupnosti, například pokud všechny prvky jsou navzájem různé, jakýkoli hromadný bod posloupnosti je ${\displaystyle \omega }$-hromadným bodem příslušné množiny ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

Pokud je naopak dána spočetná nekonečná podmnožina ${\displaystyle A\subseteq X,}$ můžeme všechny její prvky vyčíslit mnoha způsoby, dokonce s opakováním, a tak s ní ztotožnit s mnoho posloupností ${\displaystyle x_{\bullet }}$, pro které bude platit ${\displaystyle A=\operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

• Jakýkoli ${\displaystyle \omega }$-hromadný bod množiny ${\displaystyle A}$ je hromadným bodem libovolné odpovídající posloupnosti (protože libovolné okolí bodu bude obsahovat nekonečně mnoho prvků množiny ${\displaystyle A}$ a tedy také nekonečně mnoho členů jakékoli odpovídající posloupnosti).

• Bod ${\displaystyle x\in X}$, který není ${\displaystyle \omega }$-hromadným bodem množiny ${\displaystyle A}$ nemůže být hromadným bodem žádné z odpovídajících posloupností bez nekonečných opakování (protože ${\displaystyle x}$ má nějaké okolí, které obsahuje pouze konečně mnoho bodů (případně dokonce žádný) množiny ${\displaystyle A}$ a protože okolí může obsahovat pouze konečně mnoho členů takových posloupností).

Každá limita nekonstantní posloupnosti je hromadným bodem posloupnosti. A podle definice, každý hromadný bod je bodem uzávěru.

Uzávěr ${\displaystyle \operatorname {cl} (S)}$ množiny ${\displaystyle S}$ je disjunktní sjednocení svých limitních bodů ${\displaystyle L(S)}$ a izolovaných bodů ${\displaystyle I(S)}$:

${\displaystyle \operatorname {cl} (S)=L(S)\cup I(S),L(S)\cap I(S)=\varnothing .}$

Bod ${\displaystyle x\in X}$ je limitní bod množiny ${\displaystyle S\subseteq X}$ právě tehdy, když leží v uzávěru množiny ${\displaystyle S\setminus \{x\}.}$

Pokud používáme ${\displaystyle L(S)}$ pro označení množiny limitních bodů množiny ${\displaystyle S,}$ pak máme následující charakterizaci uzávěru množiny ${\displaystyle S}$: Uzávěr množiny ${\displaystyle S}$ se rovná sjednocení množiny ${\displaystyle S}$ a ${\displaystyle L(S).}$ Tento fakt se někdy používá jako definice uzávěru množiny.

Důsledek tohoto výsledku nám dává charakterizaci uzavřených množin: Množina ${\displaystyle S}$ je uzavřený právě tehdy, když obsahuje všechny své limitní body.

Žádný izolovaný bod není limitním bodem jakékoli množiny.

Prostor ${\displaystyle X}$ je diskrétním prostorem právě tehdy, když žádná jeho podmnožina ${\displaystyle X}$ nemá limitní bod.

Pokud prostor ${\displaystyle X}$ má triviální topologii a ${\displaystyle S}$ je jeho podmnožina s více než jedním prvkem, pak všechny prvky množiny ${\displaystyle X}$ jsou limitní body množiny ${\displaystyle S.}$ Pokud ${\displaystyle S}$ je jednoprvková množina, pak každý bod množiny ${\displaystyle X\setminus S}$ je limitním bodem množiny ${\displaystyle S.}$

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Limit point na anglické Wikipedii.

• BOURBAKI, Nicolas. General Topology. Berlin New York: Springer Science & Business Media, 1989. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129 Kapitola 1–4.
• DUGUNDJI, James. Topology. Boston: Allyn and Bacon, 1966. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485
• KUDRYAVTSEV, L.D. Limit point of a set. [s.l.]: EMS Press, 2014.
• MUNKRES, James R. Topology. 2. vyd. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc, 2000. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260

• Bod uzávěru
• Kondenzační bod
• Konvergentní filtr
• Derivace množiny
• Uzávěr množiny
• Filtry v topologii
• Izolovaný bod
• Limita funkce
• Limita posloupnosti