Derivace množiny

Intuitivní: Na množině ${\displaystyle \mathbb {R} }$ všech reálných čísel s její obvyklou eukleidovskou topologií je derivací polootevřeného intervalu ${\displaystyle \langle 0,1)}$ uzavřený interval ${\displaystyle \langle 0,1\rangle .}$

Neintuitivní: Uvažujme ${\displaystyle \mathbb {R} }$ s topologií tvořenou prázdnou množinou a jakoukoli podmnožinou ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ která obsahuje 1 (což je hodně neintuitivní pojetí otevřených množin). Derivace množiny ${\displaystyle A=\{1\}}$ je ${\displaystyle A'=\mathbb {R} \setminus \{1\}.}$[1]

Pokud ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle B}$ jsou libovolné podmnožiny topologického prostoru ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}}\right),}$ pak derivace má následující vlastnosti:[2]

• ${\displaystyle \varnothing '=\varnothing }$
• ${\displaystyle a\in A'\implies a\in (A\setminus \{a\})'}$
• ${\displaystyle (A\cup B)'=A'\cup B'}$
• ${\displaystyle A\subseteq B\implies A'\subseteq B'}$

Podmnožina ${\displaystyle S}$ topologického prostoru je uzavřená právě tehdy, když ${\displaystyle S'\subseteq S,}$[1], neboli když ${\displaystyle S}$ obsahuje všechny své limitní body. Pro jakoukoli podmnožinu ${\displaystyle S}$ je množina ${\displaystyle S\cup S'}$ uzavřená a je rovna uzávěru množiny ${\displaystyle S}$ (tj. množině ${\displaystyle {\overline {S}}}$).[3]

Derivace podmnožiny prostoru ${\displaystyle X}$ obecně nemusí být uzavřená. Pokud vezmeme například ${\displaystyle X=\{a,b\}}$ s triviální topologií, množina ${\displaystyle S=\{a\}}$ má derivaci ${\displaystyle S'=\{b\},}$ která v ${\displaystyle X}$ není uzavřená. Derivace uzavřené množiny je však vždy uzavřená. (Důkaz: Předpokládejme, že ${\displaystyle S}$ je uzavřená podmnožina ${\displaystyle X,}$ což znamená, že ${\displaystyle S'\subseteq S.}$ Aplikací derivace na obě strany dostaneme ${\displaystyle S''\subseteq S',}$ takže ${\displaystyle S'}$ je uzavřená v ${\displaystyle X.}$) Pokud ${\displaystyle X}$ je navíc T₁ prostor, pak derivace každé podmnožiny ${\displaystyle X}$ je uzavřená v ${\displaystyle X.}$[4][5]

Dvě podmnožiny ${\displaystyle S}$ a ${\displaystyle T}$ jsou oddělené právě tehdy, když jsou disjunktní a každá z nich je disjunktní s derivací druhé (derivace množin vzájemně disjunktní být nemusí). Tato podmínka se často zapisuje pomocí uzávěrů:

${\displaystyle \left(S\cap {\bar {T}}\right)\cup \left({\bar {S}}\cap T\right)=\varnothing ,}$

a nazývá se Hausdorffova-Lennesova oddělovací podmínka.[6]

Bijekce mezi dvěma topologickými prostory je homeomorfismem právě tehdy, když derivace obrazu (v druhém prostoru) jakékoli podmnožiny prvního prostoru je stejná jako obraz derivace této podmnožiny.[7]

Prostor je T₁ prostor, pokud každá množina obsahující pouze jeden bod je uzavřená.[8] V T₁ prostoru je derivace jednoprvkové množiny vždy prázdná (prostor ve druhém příkladě není T₁ prostor). Z toho plyne, že v T₁ prostorech je derivace jakékoli konečné množiny prázdná, a že pro jakoukoli podmnožinu ${\displaystyle S}$ a jakýkoli bod ${\displaystyle p}$ prostoru platí

${\displaystyle \left(S-\{p\}\right)'=S'=\left(S\cup \{p\}\right)'.}$

Jinými slovy, derivace se nezmění, pokud výchozí množinu změníme přidáním nebo odstraněním konečného počtu bodů.[9] Je možné také ukázat, že v T₁ prostoru platí ${\displaystyle \left(S'\right)'\subseteq S'}$ pro jakoukoli podmnožinu ${\displaystyle S.}$[10]

Množina ${\displaystyle S}$ taková, že ${\displaystyle S\subseteq S',}$ se nazývá hustá v sobě a nemůže obsahovat žádné izolované body. Množina ${\displaystyle S}$ taková, že ${\displaystyle S=S',}$ se nazývá dokonalá.[11] Dokonalá množina je tedy uzavřená a hustá v sobě, neboli jinak řečeno, je to uzavřená množina bez izolovaných bodů. Dokonalé množiny jsou obzvláště důležité při aplikaci Baireovy věty o kategoriích.

Cantorova–Bendixsonova věta říká, že jakýkoli polský prostor lze zapsat jako sjednocení spočetné množiny a dokonalé množiny. Protože jakákoli G_δ podmnožina polského prostoru je opět polský prostor, z této věty také plyne, že jakákoli G_δ podmnožina polského prostoru je sjednocením spočetné množiny a množiny, které je dokonalá vzhledem k indukované topologii.

Protože homeomorfismy lze úplně popsat pomocí derivovaných množin, byly derivované množiny v topologii používány jako primitivní pojem. Množině bodů ${\displaystyle X}$ lze přiřadit operátor ${\displaystyle S\mapsto S^{*},}$ který zobrazuje podmnožiny ${\displaystyle X}$ na podmnožiny ${\displaystyle X}$ tak, že pro jakoukoli množinu ${\displaystyle S}$ a jakýkoli bod ${\displaystyle a}$ platí:

1. ${\displaystyle \varnothing ^{*}=\varnothing }$
2. ${\displaystyle S^{**}\subseteq S^{*}\cup S}$
3. ${\displaystyle a\in S^{*}}$ implikuje ${\displaystyle a\in (S\setminus \{a\})^{*}}$
4. ${\displaystyle (S\cup T)^{*}\subseteq S^{*}\cup T^{*}}$
5. ${\displaystyle S\subseteq T}$ implikuje ${\displaystyle S^{*}\subseteq T^{*}.}$

Množinu ${\displaystyle S}$ nazveme uzavřenou, pokud ${\displaystyle S^{*}\subseteq S}$ definuje topologii na prostoru, ve kterém ${\displaystyle S\mapsto X^{*}}$ je operátorem derivace, tj. ${\displaystyle S^{*}=S'.}$

Pro libovolné ordinální číslo ${\displaystyle \alpha }$ definujeme ${\displaystyle \alpha }$-tou Cantorovu–Bendixsonovu derivaci topologického prostoru opakovanou aplikací operace derivace pomocí transfinitní indukce takto:

• ${\displaystyle \displaystyle X^{0}=X}$
• ${\displaystyle \displaystyle X^{\alpha +1}=\left(X^{\alpha }\right)'}$
• ${\displaystyle \displaystyle X^{\lambda }=\bigcap _{\alpha <\lambda }X^{\alpha }}$ pro limitní ordinály ${\displaystyle \lambda .}$

Transfinitní posloupnost Cantorových–Bendixsonových derivací ${\displaystyle X}$ musí být od jistého bodu konstantní. Nejmenší ordinál ${\displaystyle \alpha }$ takový, že ${\displaystyle X^{\alpha +1}=X^{\alpha }}$ se nazývá Cantorův–Bendixsonův stupeň ${\displaystyle X.}$