Věta o translaci
Věta o translaci (anglicky shift theorem) je matematická věta o polynomiálních diferenciálních operátorech (D-operátorech) a exponenciálních funkcích. V určitých případech umožňuje vytýkat exponenciální funkce před D-operátor.
Tvrzení
Věta o translaci říká, že jestliže P(D) je polynomiální D-operátor, pak pro libovolnou dostatečně derivovatelnou funkci y platí
Důkaz
Pro důkaz použijeme matematickou indukci. Stačí dokázat pouze speciální případ
protože obecný výsledek z něho vyplývá díky linearitě D-operátorů.
Tvrzení je zřejmě pravdivé pro n = 1, protože
Pro důkaz matematickou indukcí budeme předpokládat, že tvrzení je pravdivé pro n = k, tj.
Pak
Což uzavírá důkaz.
Další použití
Větu o translaci lze použít i pro inverzní operátory:
Existuje podobná verze věty o translaci pro Laplaceovy transformace ():
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Shift theorem na anglické Wikipedii.