Integrální transformace

Jako integrální transformace se v matematice označují některé speciální případy lineárních integrálních operátorů, což jsou lineární zobrazení ${\displaystyle T\colon A\to B}$ mezi dvěma prostory funkcí ${\displaystyle A,\,B}$, jež se dají zapsat v podobě integrálu

${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{\Omega }K(t,x)f(t)\mathrm {d} t}$,

kde ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ a ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$ jsou otevřené podmnožiny, ${\displaystyle K\colon \Omega \times D\to \mathbb {C} }$ je měřitelná funkce označovaná v tomto kontextu jako jádro transformace, ${\displaystyle f(t)}$ je libovolná funkce z prostoru ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle (Tf)(x)}$ je její obraz, tedy funkce z prostoru ${\displaystyle B}$.

Příklady integrálních transformací jsou Fourierova, Laplaceova nebo vlnková transformace.

K integrální transformaci může (ale obecně nemusí) existovat inverzní transformace, převádějící obraz z prostoru ${\displaystyle B}$ zpět na vzor z prostoru ${\displaystyle A}$. Pokud existuje, dá se vyjádřit rovněž jako integrální operátor, ale s odlišným (tzv. inverzním) jádrem ${\displaystyle K^{-1}}$ a odlišným oborem integrace ${\displaystyle \Omega '}$.

Přehled některých často používaných transformací:

Transformace	Symbol	${\displaystyle K}$	${\displaystyle \Omega }$	${\displaystyle K^{-1}}$	${\displaystyle \Omega '}$
Spojitá Fourierova transformace	${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-\mathrm {i} u\cdot t}}{(2\pi )^{n/2}}}}$	${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,}$	${\displaystyle {\frac {e^{+\mathrm {i} u\cdot t}}{(2\pi )^{n/2}}}}$	${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,}$
Hartleyova transformace	${\displaystyle {\mathcal {H}}}$	${\displaystyle {\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle \mathbb {R} \,}$	${\displaystyle {\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle \mathbb {R} \,}$
Mellinova transformace	${\displaystyle {\mathcal {M}}}$	${\displaystyle t^{u-1}\,}$	${\displaystyle (0,+\infty )}$ ${\displaystyle \ }$	${\displaystyle {\frac {t^{-u}}{2\pi \mathrm {i} }}\,}$	${\displaystyle c+\mathrm {i} \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \ }$
Dvojstranná Laplaceova transformace	${\displaystyle {\mathcal {B}}}$	${\displaystyle e^{-ut}\,}$	${\displaystyle \mathbb {R} \,}$	${\displaystyle {\frac {e^{+ut}}{2\pi \mathrm {i} }}}$	${\displaystyle c+\mathrm {i} \mathbb {R} }$
Laplaceova transformace	${\displaystyle {\mathcal {L}}}$	${\displaystyle e^{-ut}\,}$	${\displaystyle (0,+\infty )}$ ${\displaystyle \ }$	${\displaystyle {\frac {e^{+ut}}{2\pi \mathrm {i} }}}$	${\displaystyle c+\mathrm {i} \mathbb {R} }$
Weierstrassova transformace	${\displaystyle {\mathcal {W}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-(u-t)^{2}/4}}{\sqrt {4\pi }}}\,}$	${\displaystyle \mathbb {R} \,}$	${\displaystyle {\frac {e^{+(u-t)^{2}/4}}{\mathrm {i} {\sqrt {4\pi }}}}}$	${\displaystyle c+\mathrm {i} \mathbb {R} }$
Abelova transformace		${\displaystyle {\frac {2t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}\chi _{(u,\infty )}(t)}$	${\displaystyle \mathbb {R} \,}$	${\displaystyle {\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2}}}}}\chi _{(t,\infty )}(u){\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}u}}}$	${\displaystyle \mathbb {R} \,}$
Hilbertova transformace	${\displaystyle {\mathcal {H}}il}$, ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}}$	${\displaystyle \mathbb {R} \,}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}}$	${\displaystyle \mathbb {R} \,}$
Hankelova transformace s jádrem obsahujícím ${\displaystyle \operatorname {J} _{\nu }(ut)}$, Besselovu funkci prvního druhu a řádu ν	${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\nu }}$	${\displaystyle t\operatorname {J} _{\nu }(ut)}$	${\displaystyle (0,+\infty )}$ ${\displaystyle \ }$	${\displaystyle u\operatorname {J} _{\nu }(ut)}$	${\displaystyle (0,+\infty )}$ ${\displaystyle \ }$
Stieltjesova transformace	${\displaystyle {\mathcal {S}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{u+t}}}$	${\displaystyle (0,+\infty )}$ ${\displaystyle \ }$