Kofinál

Řekneme, že množina ${\displaystyle A\subseteq \gamma }$ je kofinální podmnožinou ${\displaystyle \gamma }$, existuje-li pro každé ${\displaystyle \alpha \in \gamma }$ takové ${\displaystyle \beta \in A}$, že ${\displaystyle \alpha \,\leq \,\beta }$. Říkáme také, že A je kofinální s ${\displaystyle \gamma }$.

Například

• množina ${\displaystyle A=\{\omega +\alpha$ ;\alpha \in \omega \}} je kofinální podmnožina ordinálu ${\displaystyle \omega \,+\,\omega }$.
• množina ${\displaystyle A=\{\delta \cdot \alpha +\alpha$ ;\alpha \in \delta \}} je kofinální podmnožina ordinálu ${\displaystyle \delta \cdot \delta }$.
• množina ${\displaystyle A=\{\aleph _{\alpha };\alpha \in \gamma \}}$ je kofinální podmnožina ordinálu ${\displaystyle \aleph _{\gamma }}$ pro každé ${\displaystyle \gamma \,>\,\omega }$.

Kofinálem limitního ordinálu ${\displaystyle \gamma }$ rozumíme nejmenší ordinál ${\displaystyle \alpha }$ takový, že existuje množina ${\displaystyle A\subseteq \gamma }$ kofinální s ${\displaystyle \gamma }$, jejímž ordinálním typem je ${\displaystyle \alpha }$ (tj. A je ${\displaystyle \in }$-izomorfní s ${\displaystyle \alpha }$). Kofinál limitního ordinálu ${\displaystyle \gamma }$ se značí ${\displaystyle \,cf(\gamma )}$.

Kofinalitou ${\displaystyle \gamma }$ rozumíme mohutnost (kardinalitu) ${\displaystyle \,cf(\gamma )}$. Lze ukázat, že pro každé ${\displaystyle \gamma }$ je ${\displaystyle \,cf(\gamma )}$ kardinální číslo, a tedy pojmy kofinál a kofinalita splývají.

Například

• ${\displaystyle cf(\omega +\omega )\,=\,\omega }$
• ${\displaystyle cf(\delta \cdot \delta )=\delta }$
• ${\displaystyle cf(\aleph _{\gamma })\,=\,cf(\gamma )}$ pro každé ${\displaystyle \gamma \,>\,\omega }$

Limitní ordinál, který je roven své kofinalitě se nazývá regulární. V opačném případě (je-li kofinalita menší) se nazývá singulární.