Hypotéza singulárních kardinálů

Pro každý singulární kardinál ${\displaystyle \aleph _{\alpha }\,\!}$ platí
${\displaystyle \gimel (\aleph _{\alpha })=max(\aleph _{\alpha +1},2^{cf(\aleph _{\alpha })})\,\!}$

• ${\displaystyle \aleph _{\alpha }\,\!}$ je zápis pro funkci alef používanou pro označování nekonečných kardinálů
• ${\displaystyle \gimel \,\!}$ je zápis pro funkci gimel
• ${\displaystyle cf(\aleph _{\alpha })\,\!}$ je zápis pro kofinál kardinálního čísla

Hypotézu lze ekvivalentně formulovat také:

• Jestliže pro nekonečné kardinální číslo ${\displaystyle \kappa }$ platí nerovnost ${\displaystyle 2^{\operatorname {cf} \kappa }<\kappa }$, pak ${\displaystyle \kappa ^{\operatorname {cf} \kappa }=\kappa ^{+}}$, kde ${\displaystyle \kappa ^{+}}$ značí následníka ${\displaystyle \kappa }$.

Jak sám název napovídá, jedná se o hypotézu – tj. tvrzení, které zatím nebylo dokázáno z axiomů teorie množin a jsou dobré důvody se domnívat, že ani dokazatelné není.
SCH je důsledkem zobecněné hypotézy kontinua, což mimo jiné znamená, že je bezesporná s axiomy ZF – to vyplývá z bezespornosti samotné zobecněné hypotézy kontinua. Mezi oběma hypotézami ale neplatí ekvivalence – SCH je tedy „slabší“ tvrzení. Menachem Magidor roku 1977 dokázal, že SCH není dokazatelná v ZFC, pokud je existence superkompaktního kardinálu bezesporná s axiomy ZFC.

Hlavním významem SCH je, že podstatným způsobem zjednodušuje výpočet kardinální mocniny. Jsou-li ${\displaystyle \aleph _{\alpha }\,\!}$ a ${\displaystyle \aleph _{\beta }\,\!}$ libovolné nekonečné kardinály, pak (za předpokladu přijetí SCH) platí:

• ${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=2^{\aleph _{\beta }}\,\!}$ , pokud ${\displaystyle \aleph _{\alpha }\leq 2^{\aleph _{\beta }}\,\!}$
• ${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\alpha }\,\!}$ , pokud ${\displaystyle \aleph _{\alpha }>2^{\aleph _{\beta }}\,\!}$ a ${\displaystyle \aleph _{\beta }<cf(\aleph _{\alpha })\,\!}$
• ${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\alpha +1}\,\!}$ , pokud ${\displaystyle \aleph _{\alpha }>2^{\aleph _{\beta }}\,\!}$ a ${\displaystyle cf(\aleph _{\alpha })\leq \aleph _{\beta }\,\!}$

• Kardinální aritmetika
• Funkce gimel
• Zobecněná hypotéza kontinua
• Singulární kardinál