Impedance

Impedance odporu: ${\displaystyle Z=R\,\!}$

Impedance cívky: ${\displaystyle Z=\mathrm {j} \omega L\,\!}$ , kde L je indukčnost cívky a ω je úhlová frekvence.

Impedance kondenzátoru: ${\displaystyle Z={\frac {1}{\mathrm {j} \omega C}}}$, kde C je kapacita kondenzátoru a ω je úhlová frekvence.

Impedance závisí na frekvenci, protože ${\displaystyle \omega =2\pi f\,\!}$, kde f je frekvence.

U rezistoru je fázový posun ${\displaystyle \phi =0}$ a proto vychází z Ohmova zákona resistance (impedance osamoceného rezistoru):

${\displaystyle Z_{R}={\frac {U_{max}}{I_{max}}}=R}$

Cívka, která má indukčnost L a prochází jí proud i, indukuje napětí:

${\displaystyle U_{i}=-{\frac {\operatorname {d} \!\Phi }{\operatorname {d} \!t}}=-{\frac {\operatorname {d} \!(Li)}{dt}}=-L{\frac {\operatorname {d} \!i}{\operatorname {d} \!t}}=-L{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!t}}(I_{max}\sin {(\omega t)})=-LI_{max}\omega \cos {(\omega t)}}$

Z tohoto vztahu je očividné, že maximální napětí, které cívka indukuje, je ${\displaystyle \omega LI_{max}}$. Při zapojení cívky do obvodu střídavého proudu je fázový rozdíl ${\displaystyle \phi =\pi /2}$. Po dosazení všeho, co víme, dostaneme:

${\displaystyle Z_{L}={\frac {U_{max}}{I_{max}}}e^{j\phi }={\frac {\omega LI_{max}}{I_{max}}}e^{j({\frac {\pi }{2}})}=j\omega L}$

Tím jsme odvodili vztah pro induktanci (jinak nazývanou indukční reaktance).

Kondenzátor, který má kapacitu C, se při napětí U nabije nábojem Q, který je daný vztahem:

${\displaystyle Q=CU=\int i\operatorname {d} \!t}$

kde jsme u integrálu využili toho, že proud popisuje, kolik náboje v daný čas prochází kondenzátorem - sečtením podle času tedy dostaneme celkový náboj, který se na kondenzátor dostal. Tento integrál vypočítáme:

${\displaystyle \int i\operatorname {d} \!t=\int I_{max}\cos {(\omega t)}\operatorname {d} \!t=I_{max}\int \cos {(\omega t)}\operatorname {d} \!t={\frac {I_{max}}{\omega }}\sin {(\omega t)}}$

Ze vztahu pro náboj tedy dostaneme napětí:

${\displaystyle U={\frac {I_{max}}{C\omega }}\sin {(\omega t)}}$

Je očividné, že maximální napětí bude ${\displaystyle I_{max}/C\omega }$. Vím, že fázový rozdíl po zapojení kondenzátoru do obvodu se střídavým proudem je ${\displaystyle \phi =-\pi /2}$. Dosadíme tedy vše, co víme, do rovnice pro impedanci a dostaneme:

${\displaystyle Z_{C}={\frac {U_{max}}{I_{max}}}e^{j\phi }={\frac {I_{max}}{I_{max}\omega C}}e^{-j{\frac {\pi }{2}}}=-j{\frac {1}{\omega C}}}$

Tím dostáváme vztah pro kapacitanci (neboli kapacitní reaktanci).

Reaktance je veličina daná součtem kapacitní a indukční reaktance:

${\displaystyle X=X_{C}+X_{L}=\Im (Z_{C}+Z_{L})=\omega L-{\frac {1}{\omega C}}}$

a jde také o imaginární část impedance.

Je dána součtem impedancí rezistoru, cívky a kondenzátoru:

${\displaystyle Z=R+j{\Bigl (}\omega L-{\frac {1}{\omega C}}{\Bigl )}=R+jX}$

Zjevně pro velikost impedance platí:

${\displaystyle |Z|={\sqrt {R^{2}+{\Bigl (}\omega L-{\frac {1}{\omega C}}{\Bigl )}^{2}}}}$

Fázový posun napětí oproti proudu můžeme vypočítat ze vztahu

${\displaystyle \phi =\arctan {{\Bigl (}{\frac {X}{R}}{\Bigl )}}}$.

${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {Z} _{1}+\mathbf {Z} _{2}=(R_{1}+R_{2})+\mathrm {j} (\mathrm {X} _{1}+\mathrm {X} _{2})\quad }$

${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {Z} _{1}\|\mathbf {Z} _{2}=\left(\mathbf {Z} _{1}^{-1}+\mathbf {Z} _{2}^{-1}\right)^{-1}={\mathbf {Z} _{1}\mathbf {Z} _{2} \over \mathbf {Z} _{1}+\mathbf {Z} _{2}}\quad }$

Podíl efektivních hodnot napětí a proudu nám dá absolutní hodnotu impedance.

${\displaystyle |\mathbf {Z} |={\frac {U}{I}}}$

Velikost fázového posunu

${\displaystyle \ P=UI\cos \varphi }$

Velikost činného odporu

${\displaystyle P=RI^{2}=>R={\frac {P}{I^{2}}}}$

Velikost reaktance

${\displaystyle X=|\mathbf {Z} |\sin \varphi }$

Velikost vlastní indukčnosti (pro induktivní charakter zátěže)

${\displaystyle L={\frac {X}{2\pi f}}}$

Velikost elektrické kapacity (pro kapacitní charakter zátěže)

${\displaystyle \ C={\frac {1}{2\pi fX}}}$

Velikost hraniční impedance určuje, zda je vhodnější použít zapojení pro malé nebo pro velké impedance.

${\displaystyle |\mathbf {Z_{h}} |\approx {\sqrt {(R_{A}+R_{WP}){\frac {R_{V}R_{WN}}{R_{V}+R_{WN}}}}}}$

${\displaystyle R_{A}}$ - vnitřní odpor ampérmetru

${\displaystyle R_{V}}$ - vnitřní odpor voltmetru

${\displaystyle R_{WP}}$ - vnitřní odpor proudové cívky wattmetru

${\displaystyle R_{WN}}$ - vnitřní odpor napěťové cívky wattmetru

Tato metoda není přesná, protože velikosti jednotlivých složek zjišťujeme více výpočty. Používá se pouze pro orientační měření.

Neznámou impedanci ${\displaystyle Z_{x}}$ zapojíme paralelně se známým odporovým normálem ${\displaystyle R_{N}}$. Třemi ampérmetry měříme efektivní hodnoty proudů v jednotlivých větvích i proud celkový. Metoda tří ampérmetrů je nejpřesnější, jsou-li proudy ${\displaystyle I_{R}}$ a ${\displaystyle I_{Z}}$ stejně velké a fázový posun způsobený měřenou impedancí je velký.

Velikost napětí

${\displaystyle \mathbf {U} =\mathbf {Z_{x}} \mathbf {I_{Z}} =R_{N}\mathbf {I_{R}} }$

Velikost absolutní hodnoty impedance

${\displaystyle \mathbf {|Z_{x}|} ={\frac {RI_{R}}{I_{Z}}}}$

Podle prvního Kirchhoffova zákona platí

${\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {I_{R}} +\mathbf {I_{Z}} }$

Podle fázorového diagramu platí pro úhel ${\displaystyle \varphi '}$ kosinová věta

${\displaystyle I^{2}=I_{Z}^{2}+I_{R}^{2}-2I_{R}I_{Z}\cos \varphi '}$

Pro ${\displaystyle \cos \varphi '}$ platí

${\displaystyle \cos \varphi '=-{\frac {I^{2}-I_{Z}^{2}-I_{R}^{2}}{2I_{R}I_{Z}}}}$

Pro úhel ${\displaystyle \varphi }$ platí

${\displaystyle \ \varphi =180-\varphi '}$

Pro ${\displaystyle \cos \varphi }$ platí

${\displaystyle \ \cos \varphi =-\cos \varphi '}$

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {I^{2}-I_{Z}^{2}-I_{R}^{2}}{2I_{R}I_{Z}}}}$

Jednotlivé složky impedance budou mít velikost:

${\displaystyle \ R_{x}=\mathbf {|} Z|\cos \varphi }$

${\displaystyle \ X_{x}=\mathbf {|} Z|\sin \varphi }$

Pro činný výkon na zátěži platí:

${\displaystyle P=U_{Z}I_{Z}\cos \varphi =R_{N}I_{R}I_{Z}{\frac {I^{2}-I_{Z}^{2}-I_{R}^{2}}{2I_{R}I_{Z}}}={\frac {R_{N}}{2}}(I^{2}-I_{R}^{2}-I_{Z}^{2})}$

Měřená impedance ${\displaystyle Z_{x}}$ je zapojena v sérii s odporovým normálem ${\displaystyle R_{N}}$. Pomocí tří voltmetrů měříme efektivní hodnoty úbytků napětí na normálu, na měřené impedanci a napětí celkové.

Podle fázorového diagramu platí pro úhel ${\displaystyle \varphi '}$ kosinová věta

${\displaystyle U^{2}=U_{Z}^{2}+U_{R}^{2}-2U_{R}U_{Z}\cos \varphi '}$

Pro ${\displaystyle \cos \varphi '}$ platí

${\displaystyle \cos \varphi '=-{\frac {U^{2}-U_{Z}^{2}-U_{R}^{2}}{2U_{R}U_{Z}}}}$

Pro úhel ${\displaystyle \varphi }$ platí

${\displaystyle \ \varphi =180-\varphi '}$

Pro ${\displaystyle \cos \varphi }$ platí

${\displaystyle \ \cos \varphi =-\cos \varphi '}$

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {U^{2}-U_{Z}^{2}-U_{R}^{2}}{2U_{R}U_{Z}}}}$

Jednotlivé složky impedance budou mít velikost:

${\displaystyle \ R_{x}=\mathbf {|} Z|\cos \varphi }$

${\displaystyle \ X_{x}=\mathbf {|} Z|\sin \varphi }$

Pro činný výkon na zátěži platí:

${\displaystyle P=U_{Z}I_{Z}\cos \varphi ={\frac {U_{Z}U_{R}}{R_{N}}}{\frac {U^{2}-U_{Z}^{2}-U_{R}^{2}}{2U_{R}U_{Z}}}={\frac {U^{2}-U_{R}^{2}-U_{Z}^{2}}{2R_{N}}}}$

Zda máme použít k měření impedance metodu tří ampérmetrů nebo voltmetrů rozhodne hodnota hraniční impedance. Pro určení její velikosti platí vztah:

${\displaystyle \mathbf {Z_{h}} \approx {\sqrt {R_{A}R_{V}}}}$

${\displaystyle R_{A}}$ - vnitřní odpor ampérmetrů

${\displaystyle R_{V}}$ - vnitřní odpor voltmetrů

Je-li ${\displaystyle |\mathbf {Z_{x}} |<|\mathbf {Z_{h}} |}$, je pro měření vhodnější metoda tří voltmetrů, pro ${\displaystyle |\mathbf {Z_{x}} |>|\mathbf {Z_{h}} |}$ je pro měření vhodnější metoda tří ampérmetrů.

Obecný můstek

Jde o obdobu Wheatstoneova můstku pro měření odporů. Pokud je v některé z podmínek rovnováhy zastoupena frekvence, je můstek frekvenčně závislý a lze ho použít nejen k měření impedancí, ale také k měření frekvencí. Pro měření impedancí jsou výhodnější, frekvenčně nezávislé můstky. Střídavé můstky jsou napájeny z oscilátoru. Nulové indikátory (NI) indikují vyvážení můstku. K tomu se nejčastěji používá osciloskop. Abychom omezili vnější rušivé vlivy, musí být můstky pečlivě zeměny a stíněny.

${\displaystyle \mathbf {Z_{1}} \mathbf {Z_{4}} =\mathbf {Z_{2}} \mathbf {Z_{3}} }$

${\displaystyle \mathbf {Z} =R\pm \mathrm {j} X}$

Dosadíme-li za jednotlivé hodnoty impedancí hodnoty v exponenciálním tvaru, bude platit:

${\displaystyle \mathbf {Z_{1}} e^{\mathrm {j} \varphi _{1}}\mathbf {Z_{4}} e^{\mathrm {j} \varphi _{4}}=\mathbf {Z_{2}} e^{\mathrm {j} \varphi _{2}}\mathbf {Z_{3}} e^{\mathrm {j} \varphi _{3}}}$

${\displaystyle \mathbf {Z_{1}} \mathbf {Z_{4}} e^{\mathrm {j} (\varphi _{1}+\varphi _{4})}=\mathbf {Z_{2}} \mathbf {Z_{3}} e^{\mathrm {j} (\varphi _{2}+\varphi _{3})}}$

Když tuto rovnici rozdělíme na dvě skalární, dostaneme dvě podmínky rovnováhy.

${\displaystyle |\mathbf {Z_{1}} ||\mathbf {Z_{4}} |=|\mathbf {Z_{2}} ||\mathbf {Z_{3}} |}$

${\displaystyle \ \varphi _{1}+\varphi _{4}=\varphi _{2}+\varphi _{3}}$

Číslicové měřiče impedancí mohou pracovat na různých principech, často se využívá převodník impedance-napětí nebo převodník admitance-napětí s využitím operačních zesilovačů.

• SEDLÁK, Bedřich; ŠTOLL, Ivan. Elektřina a magnetismus. 2., opravené a rozšíření vyd. Praha: Academia, 2002. 632 s. ISBN 80-200-1004-1.
• Elektrotechnická měření. 1. vyd. Praha: nakladatelství BEN - technická literatura, 2002. 256 s. ISBN 80-7300-022-9.
• BLAHOVEC, Antonín. Elektrotechnika II. 4., nezměněné vyd. Praha: Informatorium, 2003. 156 s. ISBN 80-7333-013-X.
• DOLEČEK, Jaroslav. Moderní učebnice elektroniky. Praha: nakladatelství BEN - technická literatura, 2005. 344 s. ISBN 80-7300-146-2.

• Elektřina
• Admitance
• Induktance
• Kapacitance
• Reaktance
• Kondenzátor
• Cívka
• Elektrický odpor
• Rezonanční obvod

• Obrázky, zvuky či videa k tématu impedance na Wikimedia Commons
• Měření impedance (česky)
• Vysvětlení impedance (anglicky)