Elektrická kapacita

• Značka veličiny: C
• Hlavní jednotka v soustavě SI: farad, značka F[1]
• Další jednotky: Z praktického hlediska je farad příliš velká jednotka, takže se běžně používají dílčí jednotky, především

milifarad, 1 mF = 10⁻³ F

mikrofarad, 1 μF = 10⁻⁶ F

nanofarad, 1 nF = 10⁻⁹ F

pikofarad, 1 pF = 10⁻¹² F

V elektronice se kapacita kondenzátorů někdy udává v pikofaradech, proto je možné se setkat s hodnotami např. 3k3 = 3300 pF = 3,3 nF nebo 10M = 10 μF.

Izolované vodivé těleso s nábojem ${\displaystyle Q}$ vytváří ve svém okolí potenciál ${\displaystyle \varphi }$. Pokud dojde ke změně náboje tělesa na ${\displaystyle Q^{\prime }=kQ}$, kde ${\displaystyle k}$ je konstanta, změní se také potenciál na ${\displaystyle \varphi ^{\prime }=k\varphi }$. Bude tedy platit

${\displaystyle {\frac {Q^{\prime }}{\varphi ^{\prime }(\mathbf {r} )}}={\frac {Q}{\varphi (\mathbf {r} )}}={\mbox{konst}}}$

Poměr velikosti náboje tělesa a hodnoty potenciálu v určitém bodě tedy závisí pouze na geometrickém uspořádání tělesa a daného bodu. Je-li ${\displaystyle \varphi _{0}}$ hodnota potenciálu na povrchu tělesa s nábojem ${\displaystyle Q}$, pak platí

${\displaystyle C={\frac {Q}{\varphi _{0}}}}$,

kde ${\displaystyle C}$ se nazývá elektrická kapacita.

Elektrická kapacita je závislá na tvaru a velikosti tělesa a na prostředí, v němž se nachází. Kapacita osamoceného vodivého tělesa vyjadřuje schopnost tohoto tělesa shromažďovat elektrický náboj. Těleso s menší kapacitou bude daným nábojem přivedeno na vyšší potenciál než těleso s větší kapacitou.

Uvažujme dvě vodivá tělesa, z nichž jedno je nabité s nábojem ${\displaystyle Q_{1}\neq 0}$ a druhé je nenabité, tzn. ${\displaystyle Q_{2}=0}$. Pokud by první těleso bylo v prostoru samo, potom by platilo ${\displaystyle Q_{1}=C_{01}\varphi _{01}^{(0)}}$, kde ${\displaystyle C_{01}}$ je jeho kapacita a ${\displaystyle \varphi _{01}^{(0)}}$ je jeho potenciál. Pokud nyní druhé, původně nenabité těleso, umístíme v dosahu působení elektrických sil prvního tělesa, pak se na druhém tělese objeví indukovaný náboj, který se rozdělí po jeho povrchu. To má ovšem zpětně vliv na rozdělení náboje ${\displaystyle Q_{1}}$ na povrchu prvního tělesa tak, aby byl zachován konstantní potenciál obou těles. Dojde tak ke změně potenciálů obou těles na ${\displaystyle \varphi _{01}^{(1)}}$ a ${\displaystyle \varphi _{02}^{(1)}}$.

Jestliže na prvním tělese dojde ke změně náboje ${\displaystyle Q_{1}}$ na hodnotu ${\displaystyle Q_{1}^{\prime }=kQ_{1}}$, získáme na tělesech potenciály ${\displaystyle k\varphi _{01}^{(1)}}$ a ${\displaystyle k\varphi _{02}^{(1)}}$. Vzhledem k tomu, že danému rozložení náboje odpovídá určitý potenciál, musí existovat určité konstanty, které charakterizují vztah mezi potenciály a nábojem ${\displaystyle Q_{1}}$, přičemž tyto konstanty jsou závislé pouze na geometrickém uspořádání těles. Lze tedy psát

${\displaystyle \varphi _{01}^{(1)}=B_{11}Q_{1}}$,

${\displaystyle \varphi _{02}^{(1)}=B_{21}Q_{1}}$,

kde ${\displaystyle B_{11},B_{21}}$ jsou konstanty.

Použijeme-li stejnou úvahu pro případ ${\displaystyle Q_{1}=0}$ a ${\displaystyle Q_{2}\neq 0}$, dostaneme obdobné konstanty, které popisují vztah mezi nábojem ${\displaystyle Q_{2}}$ a potenciály ${\displaystyle \varphi _{01}^{(2)}}$ a ${\displaystyle \varphi _{02}^{(2)}}$, tedy

${\displaystyle \varphi _{01}^{(2)}=B_{12}Q_{2}}$

${\displaystyle \varphi _{02}^{(2)}=B_{22}Q_{2}}$

Superpozicí předchozích případů dostaneme zobecnění pro ${\displaystyle Q_{1}\neq 0}$ a ${\displaystyle Q_{2}\neq 0}$, tzn.

${\displaystyle \varphi _{01}=\varphi _{01}^{(1)}+\varphi _{01}^{(2)}=B_{11}Q_{1}+B_{12}Q_{2}}$

${\displaystyle \varphi _{02}=\varphi _{02}^{(1)}+\varphi _{02}^{(2)}=B_{21}Q_{1}+B_{22}Q_{2}}$

Pro ${\displaystyle n}$ těles, kde ${\displaystyle i}$-té těleso má náboj ${\displaystyle Q_{i}}$ lze postupným opakováním předchozího postupu získat

${\displaystyle \varphi _{0i}=\sum _{k=1}^{n}B_{ik}Q_{k}}$,

kde ${\displaystyle \varphi _{0i}}$ označuje potenciál ${\displaystyle i}$-tého tělesa. Koeficienty ${\displaystyle B_{ik}}$ se označují jako potenciálové koeficienty. Tyto koeficienty jsou určeny rozměry, tvarem a vzájemnými polohami všech vodivých těles.

Lze dokázat, že potenciálové koeficienty splňují vztahy

${\displaystyle B_{ij}=B_{ji}}$

tedy matice koeficientů ${\displaystyle B_{ik}}$ je symetrická.

Zápis ${\displaystyle \varphi _{0i}=\sum _{k=1}^{n}B_{ik}Q_{k}}$ představuje soustavu ${\displaystyle n}$ lineárních rovnic o ${\displaystyle n}$ neznámých ${\displaystyle Q_{i}}$. Tato soustava má právě jedno řešení, pokud je determinant ${\displaystyle B_{ij}}$ nenulový. Řešení této soustavy je pak možné zapsat jako

${\displaystyle Q_{i}=\sum _{k=1}^{n}C_{ik}\varphi _{0k}}$

Diagonální prvky matice ${\displaystyle C_{ik}}$, tzn. ${\displaystyle C_{ii}}$, se označují jako kapacitní koeficienty, a nediagonální prvky matice ${\displaystyle C_{ik}}$, tzn. prvky ${\displaystyle C_{ik}}$ pro ${\displaystyle i\neq k}$, se nazývají influenčními koeficienty.

Také matice ${\displaystyle C_{ik}}$ je symetrická.