Geometrické místo bodů

Najděte geometrické místo bodů bodů P, které mají daný poměr vzdáleností k = d₁/d₂ od dvou daných bodů.

V tomto příkladě jsou k = 3, A(−1, 0) a B(0, 2) pevně zvolené.

P(x, y) je bod geometrického místo bodů

${\displaystyle \Leftrightarrow |PA|=3|PB|}$

${\displaystyle \Leftrightarrow |PA|^{2}=9|PB|^{2}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow (x+1)^{2}+(y-0)^{2}=9(x-0)^{2}+9(y-2)^{2}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 8(x^{2}+y^{2})-2x-36y+35=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \left(x-{\frac {1}{8}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {9}{4}}\right)^{2}={\frac {45}{64}}.}$

Tato rovnice reprezentuje a kružnice se středem (1/8, 9/4) a poloměrem ${\displaystyle {\tfrac {3}{8}}{\sqrt {5}}}$. je Apolloniova kružnice definovaná vztahem těchto hodnot k, A a B.

Geometrické místo bodu C

Trojúhelník ABC má pevnou stranu [AB] s délkou c. Stanovte geometrické místo bodů třetího vrcholu C tak, že Těžnice A a C jsou navzájem kolmé.

Zvolíme ortonormální souřadný systém tak, že A(−c/2, 0), B(c/2, 0). C(x, y) je proměnná třetí vrchol. Střed [BC] je M((2x + c)/4, y/2). Těžnice z vrcholu C má směrnici y/x. Těžnice AM má směrnici 2y/(2x + 3c).

Geometrické místo je kružnice

C(x, y) je geometrické místo bodů

${\displaystyle \Leftrightarrow }$ Těžnice z vrcholu A a C jsou kolmé

${\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {y}{x}}\cdot {\frac {2y}{2x+3c}}=-1}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 2y^{2}+2x^{2}+3cx=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+(3c/2)x=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow (x+3c/4)^{2}+y^{2}=9c^{2}/16.}$

Geometrické místo vrcholu C je kružnice se středem (−3c/4, 0) a poloměrem 3c/4.

Průsečík úseček k a l definuje kružnici

Geometrické místo bodů může být také definováno vztahem dvou křivek, které závisejí na společném parametru. Když se parametr mění, průsečíky křivek definují geometrické místo bodů.

Na obrázku jsou K a L pevné body na dané přímce m. Přímka k je a proměnná přímka procházející bodem K. Přímka l procházející bodem L je kolmicí na k. Úhel ${\displaystyle \alpha }$ sevřený k a m je parametr. Obě přímky k a l zavisejí na společném parametru. Množina jejich průsečíků S je kružnice. Tato kružnice je geometrickým místem průsečíků obou úseček.

Geometrické místo bodů bodů nemusí být jen jednorozměrné (jako kružnice, přímka, atd.). Například[1] geometrické místo bodů nerovnosti 2x + 3y – 6 < 0 je část roviny, která leží pod přímkou s rovnicí 2x + 3y – 6 = 0.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Locus (mathematics) na anglické Wikipedii.

• Algebraická varieta
• Křivka
• Přímka
• Oblast (geometrie)
• Geometrický útvar