Gödelovy věty o neúplnosti

Nechť T je rekurzivně axiomatizovaná teorie v jazyce aritmetiky obsahující Robinsonovu aritmetiku, taková, že struktura přirozených čísel je jejím modelem. Pak existuje sentence ${\displaystyle \nu }$, která není v T dokazatelná ani vyvratitelná.

Formule ${\displaystyle \nu }$ z této věty má svůj vlastní název – Gödelova formule.

Označme na chvíli za rozumnou takovou axiomatickou teorii schopnou hovořit o přirozených číslech, jejich sčítání a násobení, v níž:

1. není možné dokázat cokoli (např. nesmysly jako ${\displaystyle (\exists x)(x\neq x)}$), a zároveň takovou, že
2. jsme schopni o každém tvrzení rozhodnout (v konečném čase), zda je, či není axiomem této teorie.

Každý jistě uzná, že oba tyto požadavky jsou skutečně „rozumné“ – jinak bychom totiž buďto mohli dokázat jakékoli nesmysly nebo bychom naopak ani nevěděli, jaké předpoklady můžeme v důkazech využít.

To, co jsme právě nazvali rozumná teorie, je jen poněkud méně přesně přeříkaný matematický termín bezesporná rekurzivně axiomatizovaná teorie v jazyce aritmetiky. Pokud navíc v takové rozumné teorii budou dokazatelné základní vlastnosti přirozených čísel (jako například ${\displaystyle x+0=x}$), znamená to, že tato teorie obsahuje Robinsonovu aritmetiku.

To, že struktura přirozených čísel je modelem této teorie, znamená, že nic z toho, co v naší teorii můžeme dokázat o přirozených číslech, neodporuje tomu „jak to skutečně je“.

Tedy tvrzení „teorie obsahuje Robinsonovu aritmetiku a přirozená čísla jsou jejím modelem“ znamená, že tato teorie skutečně hovoří o těch přirozených číslech, které známe, a ne o nějakých podivných jiných.

První Gödelova věta pak říká, že kdykoli máme rozumnou teorii hovořící o našich přirozených číslech, pak tato teorie není dostatečně silná, aby byla schopná dokázat o přirozených číslech vše. Tedy ideální teorie požadovaná v Hilbertově programu neexistuje.

V Peanově aritmetice není dokazatelná ani vyvratitelná sentence ${\displaystyle Con_{PA}}$, kde ${\displaystyle Con_{PA}}$ je formule, která ve struktuře přirozených čísel vyjadřuje skutečnost, že Peanova aritmetika je bezesporná.

První Gödelova věta říká, že v žádné rozumné teorii hovořící o přirozených číslech není dokazatelné vše. Druhá Gödelova věta dává konkrétní příklad takového nedokazatelného tvrzení pro Peanovu aritmetiku – je jím věta „Peanova aritmetika je bezesporná.“

První Gödelovu větu lze zesílit tvrzením, že tam definovaná Gödelova formule ${\displaystyle \nu }$ je ${\displaystyle \Pi _{1}}$ formule (viz Aritmetická hierarchie). Z tohoto zesílení tedy plyne, že v teorii T splňující předpoklady první Gödelovy věty existuje nezávislá formule nejnižší možné složitosti (${\displaystyle \nu }$ je ${\displaystyle \Pi _{1}}$ a tedy ${\displaystyle \neg \nu }$ je ${\displaystyle \Sigma _{1}}$). Každá ${\displaystyle \Delta _{1}}$ formule je totiž v takové teorii již dokazatelná nebo vyvratitelná (podle toho, zda ona nebo její negace platí v přirozených číslech – to plyne z věty o sigma úplnosti Robinsonovy aritmetiky).

Navíc lze dokázat, že Gödelova formule platí ve struktuře přirozených čísel.

Předpoklad o tom, že struktura přirozených čísel je modelem T je možné v První Gödelově větě vynechat. To říká Rosserova věta:

Nechť T je bezesporná rekurzivně axiomatizovatelná teorie v jazyce aritmetiky obsahující Robinsonovu aritmetiku. Pak existuje sentence ${\displaystyle \rho }$, která není v T dokazatelná ani vyvratitelná.

Formule ${\displaystyle \rho }$ z této věty má svůj vlastní název – Rosserova formule.

Druhou Gödelovu větu lze zobecnit následujícím způsobem:

Nechť T je bezesporná rekurzivně axiomatizovatelná teorie a existuje interpretace teorie ${\displaystyle I\Sigma _{1}}$ (viz teorie IΣ1) v T (k tomu stačí existence interpretace Peanovy aritmetiky v T). Pak v teorii T je nezávislá formule ${\displaystyle Con_{T}}$ vyjadřující (formální) bezespornost teorie T.

Z takto zobecněné věty plyne například neúplnost libovolného rekurzivního rozšíření Zermelo-Fraenkelovy (a tedy též Gödel-Bernaysovy) teorie množin. Všechny konečné ordinály totiž tvoří obor interpretace Peanovy aritmetiky v teorii množin.

Pomocí metod teorie vyčíslitelnosti lze dokázat tvrzení, jehož snadným důsledkem je první Gödelova věta. Toto tvrzení zní následovně:

Každé bezesporné rozšíření Robinsonovy aritmetiky je nerozhodnutelné (dokonce rekurzivně neoddělitelné). Je-li tedy rekurzivně axiomatizovatelné, je neúplné.

Toto tvrzení má svůj vlastní význam a neslouží pouze k pohodlnému důkazu první Gödelovy věty. Plyne z něj totiž například nerozhodnutelnost teorií okruhů, komutativních okruhů, oborů integrity, těles a těles charakteristiky nula.

V teorii množin existuje velmi mnoho nezávislých tvrzení. Konkrétně v Zermelo-Fraenkelově axiomatizaci to jsou například následující:

• Axiom výběru
• Hypotéza kontinua
• Hypotéza singulárních kardinálů
• Martinův axiom
• Zobecněná hypotéza kontinua
• Diamantový princip
• Axiomy existence velkých kardinálů

Po důkazu Gödelových vět se matematici snažili nalézt příklady konkrétních zajímavých matematických tvrzení, která jsou nedokazatelná v Peanově aritmetice. Ukázalo se, že jde o velmi obtížný problém. Díky práci L. Kirbiho a J. Parise je známo několik málo takových tvrzení. Jsou to:

• Různé silnější varianty Ramseyovy věty
• Goodsteinova věta

• Kurt Gödel, Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I., Monatshefte für Mathematik und Physik 38: 173–98, 1931. (původní Gödelův článek)
• Vítězslav Švejdar, Logika – neúplnost, složitost a nutnost, Academia, Praha, 2002, ISBN 80-200-1005-X
• K. Devlin, Jazyk Matematiky, Argo, Praha 2003
• SMULLYAN, Raymond M. Navěky nerozhodnuto : úvod do logiky a zábavný průvodce ke Gödelovým objevům. Praha: Academia, 2003. 308 s. ISBN 80-200-1068-8.

• Löbova věta
• Diagonální lemma
• Hilbertův program
• Kurt Gödel
• Gödelova věta o úplnosti predikátové logiky

• Náčrt důkazu Gödelových vět – obsahuje všechny hlavní myšlenky, nikoli však technické detaily (anglicky)
• Martin Hirzel, On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I., 2000. (ke stažení anglický překlad originálního Gödelova článku)