Robinsonova aritmetika

Robinsonova aritmetika je teorie v jazyce L obsahujícím jeden konstantní (nulární) symbol 0, jeden unární funkční symbol S (následník), dva binární funkční symboly +,${\displaystyle \cdot }$ a binární relační symbol ${\displaystyle =}$. Tento jazyk se nazývá jazyk aritmetiky.

Term ${\displaystyle S(S(\ldots S(0)\ldots ))}$, kde se symbol S vyskytuje n-krát, se nazývá n-tý numerál a značí se ${\displaystyle {\underline {n}}}$. Za nultý numerál se považuje term (konstantní symbol) 0.

Robinsonova aritmetika má sedm axiomů, které jsou univerzálními uzávěry následujících formulí (tj. vzniknou z těchto formulí, předsadíme-li před ně několik univerzálních kvantifikátorů kvantifikujících všechny vyskytující se volné proměnné):

• (Q1) ${\displaystyle \,0\neq S(x)}$ (nula není následníkem žádného čísla)
• (Q2) ${\displaystyle \,x\neq 0\rightarrow (\exists y)(x=S(y))}$ (každé číslo, vyjma nuly, je následníkem nějakého čísla)
• (Q3) ${\displaystyle \,S(x)=S(y)\rightarrow x=y}$ (následník je prosté zobrazení)
• (Q4) ${\displaystyle \,x+0=x}$ (definice sčítání čísla s nulou)
• (Q5) ${\displaystyle \,x+S(y)=S(x+y)}$ (definice sčítání čísla s nenulovým číslem)
• (Q6) ${\displaystyle \,x\cdot 0=0}$ (definice násobení čísla nulou)
• (Q7) ${\displaystyle \,x\cdot S(y)=x\cdot y+x}$ (definice násobení čísla nenulovým číslem)

• Robinsonova aritmetika je neúplná teorie. Následující formule v ní nejsou dokazatelné ani vyvratitelné:
  • ${\displaystyle \,x+y=y+x}$
  • ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}$
  • ${\displaystyle \leq }$ je slabě antisymetrická relace, tedy také ${\displaystyle \leq }$ je lineární uspořádání
• Robinsonova aritmetika je nerozhodnutelná teorie, dokonce každé bezesporné rozšíření Robinsonovy aritmetiky v konečném jazyce je nerozhodnutelné. Pokud je tedy toto rozšíření rekurzivně axiomatizované, je také neúplné.
• Robinsonova aritmetika (i každé její bezesporné rozšíření) je dokonce rekurzivně neoddělitelná, tj. neexistuje rekurzivní množina obsahující všechny v ní dokazatelné formule a žádné v ní vyvratitelné.
• Robinsonova aritmetika je ${\displaystyle \Sigma }$-úplná, tj. pro každou ${\displaystyle \Sigma }$-formuli ${\displaystyle \varphi }$ (formuli vzniklou z otevřené formule opakovaným užitím konjunkce, disjunkce, omezené kvantifikace a (neomezené) existenční kvantifikace) a přirozená čísla ${\displaystyle k,n_{1},\ldots ,n_{k}}$ platí: ${\displaystyle \varphi ({\underline {n}}_{1},\ldots ,{\underline {n}}_{k})}$ je dokazatelná v Robinsonově aritmetice ${\displaystyle \Leftrightarrow \mathbb {N} \models \varphi [n_{1},\ldots ,n_{k}]}$ (viz model).

• Peanova aritmetika
• Presburgerova aritmetika