Diamantový princip

Diamantový princip lze formulovat následovně:

Existuje posloupnost ${\displaystyle (M_{\alpha };\,\alpha \in \omega _{1})}$ množin taková, že ${\displaystyle M_{\alpha }\subseteq \alpha }$ a pro každou množinu ${\displaystyle X\subseteq \omega _{1}}$ je ${\displaystyle \{\alpha ;X\cap \alpha =M_{\alpha }\}\,\!}$ stacionární množina v ${\displaystyle \,\omega _{1}\,\!}$.

Diamantový princip není dokazatelný ani vyvratitelný v ZFC – to lze ukázat užitím forcingu . Jeho „sílu“ v porovnání s ostatními nezávislými tvrzeními lze vyjádřit následovně:

• Diamantový princip platí v univerzu konstruovatelných množin, vyplývá tedy z axiomu konstruovatelnosti.
• Z diamantového principu plyne hypotéza kontinua. Důkaz tohoto tvrzení je velmi snadný.
• Diamantový princip implikuje rovněž existenci Suslinova stromu a tedy neplatnost Suslinovy hypotézy.

Diamantový princip lze zobecnit následujícím způsobem na tvrzení ${\displaystyle \diamond _{\lambda }(I)}$, kde ${\displaystyle \lambda }$ je nespočetný regulární kardinál a ${\displaystyle I\subseteq \lambda }$:

Existuje posloupnost ${\displaystyle (M_{\alpha };\,\alpha \in I)}$ množin taková, že ${\displaystyle M_{\alpha }\subseteq \alpha }$ a pro každou množinu ${\displaystyle X\subseteq \lambda }$ je ${\displaystyle \{\alpha ;X\cap \alpha =M_{\alpha }\}}$ stacionární množina v ${\displaystyle \,\lambda \,\!}$.

Místo ${\displaystyle \diamond _{\lambda }(\lambda )}$ se píše pouze ${\displaystyle \diamond _{\lambda }}$. Klasický diamantový princip ${\displaystyle \,\diamond }$ pak odpovídá ${\displaystyle \diamond _{\omega _{1}}}$.......