Sigma-algebra

${\displaystyle \sigma }$-algebra je usporiadaná dvojica ${\displaystyle (\Omega ,S)}$, kde ${\displaystyle \Omega }$ je ľubovoľná množina a ${\displaystyle S\subseteq 2^{\Omega }}$, pričom platí:

• ${\displaystyle \Omega \in S}$,
• ak ${\displaystyle M\in S}$, potom aj ${\displaystyle \Omega \backslash M\in S}$,
• ak ${\displaystyle M_{1},M_{2},\ldots \in S}$ je postupnosť množín z ${\displaystyle S}$, potom ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }M_{i}\in S}$.

(${\displaystyle 2^{\Omega }}$ je zápis pre potenčnú množinu množiny ${\displaystyle \Omega }$.)

Keďže triviálna ${\displaystyle \sigma }$-algebra (v ktorej ${\displaystyle \Omega =\emptyset }$) má veľmi jednoduché vlastnosti a v niektorých vetách spôsobuje nutnosť ju explicitne vynechať, niekedy sa zvykne v už v definícii vyradiť (podmienkou ${\displaystyle \Omega \neq \emptyset }$).

Na ${\displaystyle \sigma }$-algebrách je postavená celá moderná pravdepodobnosť a teória miery.

• najjednoduchšia ${\displaystyle \sigma }$-algebra nad ľubovoľnou množinou ${\displaystyle \Omega }$: ${\displaystyle (\Omega ,\{\emptyset ,\Omega \})}$,
• ${\displaystyle \left(\{1,2,3\},\{\emptyset ,\{1,2\},\{3\},\{1,2,3\}\}\right)}$,
• ${\displaystyle (\Omega ,S)}$, kde ${\displaystyle \Omega }$ je ľubovoľná nespočítateľná množina a ${\displaystyle S}$ je systém všetých jej spočítateľných podmnožín a podmnožín, ktoré majú spočítateľný komplement,
• Borelova ${\displaystyle \sigma }$-algebra (${\displaystyle \sigma }$-algebra borelovských množín) je ${\displaystyle \sigma }$-algebra nad ľubovoľným topologickým priestorom generovaná všetkými jeho otvorenými množinami.

Nie je ťažké ukázať, že každá ${\displaystyle \sigma }$-algebra je uzavretá nielen na nekonečné spočítateľné zjednotenie z definície, ale aj na spočítateľný (konečný i nekonečný) prienik a konečné zjednotenie, teda pre ľubovoľnú ${\displaystyle \sigma }$-algebru ${\displaystyle (\Omega ,S)}$ platia nasledujúce tvrdenia:

• ak ${\displaystyle M_{1},M_{2}\ldots ,\in S}$, potom ${\displaystyle \cap _{i=1}^{\infty }M_{i}\in S}$,
• ak ${\displaystyle M_{1},M_{2},\ldots ,M_{n}\in S}$, potom ${\displaystyle \cap _{i=1}^{n}M_{i}\in S}$,
• ak ${\displaystyle M_{1},M_{2},\ldots ,M_{n}\in S}$, potom ${\displaystyle \cup _{i=1}^{n}M_{i}\in S}$.

Z týchto uzáverových vlastností vyplýva, že každá ${\displaystyle \sigma }$-algebra je uzavretá na ľubovoľnú množinovú operáciu vyjadrenú pomocou spočítateľného množstva prienikov, zjednotení a komplementov.

Ľahko sa dá aj ukázať, že prienik ${\displaystyle \sigma }$-algebier (teda ${\displaystyle (\Omega ,S_{1}\cap S_{2})}$ pre ${\displaystyle \sigma }$-algebry ${\displaystyle (\Omega ,S_{1})}$ a ${\displaystyle (\Omega ,S_{2})}$) je znova ${\displaystyle \sigma }$-algebra.

Ak máme danú nejakú množinu ${\displaystyle \Omega }$, je zrejmé, že s ľubovoľnou množinou ${\displaystyle S\subseteq 2^{\Omega }}$ nemusia tvoriť ${\displaystyle \sigma }$-algebru. Má však zmysel sa pýtať, ako vyzerá najmenšia ${\displaystyle \sigma }$-algebra obsahujúca celú množinu ${\displaystyle S}$.

Formálne, nech je daná (neprázdna) množina ${\displaystyle \Omega }$ a množina ${\displaystyle S\subseteq 2^{\Omega }}$. Nech ${\displaystyle S_{\sigma }=\bigcap \{T\supseteq S~|~T\subseteq 2^{\Omega };(\Omega ,T)~je~\sigma -algebra\}}$ (teda ${\displaystyle S_{\sigma }}$ je prienik všetkých systémov ${\displaystyle T}$ podmnožín množiny ${\displaystyle \Omega }$, ktoré obsahujú ${\displaystyle S}$, a súčasne ${\displaystyle (\Omega ,T)}$ je ${\displaystyle \sigma }$-algebra). Potom hovoríme, že ${\displaystyle \sigma }$-algebra ${\displaystyle (\Omega ,S_{\sigma })}$ je ${\displaystyle \sigma }$-algebra generovaná množinou (systémom množín) ${\displaystyle S}$.

Významným príkladom ${\displaystyle \sigma }$-algebry generovanej množinou je ${\displaystyle \sigma }$-algebra borelovských množín.

• Sigma okruh