Usporiadaná dvojica

Usporiadaná dvojica je, voľne povedané, matematický objekt obsahujúci dva jednoduchšie objekty a informáciu o tom, ktorý z týchto objektov je prvý, a ktorý je druhý. Usporiadaná dvojica sa často označuje symbolom $(a,b)$ kde $a$ je prvý objekt usporiadanej dvojice a $b$ je druhý objekt usporiadanej dvojice.

V matematike má množstvo javov prirodzenú štruktúru usporiadanej dvojice. Tak napríklad, karteziánske súradnice bodu v rovine tvoria usporiadanú dvojicu, prvým objektom je v nej x-ová súradnica a druhým objektom y-ová súradnica bodu. V tomto príklade je dôležité, že dvojica súradníc je usporiadaná - nebyť usporiadanosti nebolo by možné rozoznať, ktorý objekt v dvojici je x-ová a ktorý je y-ová súradnica. Jav usporiadanej dvojice je bežný aj v každodennom živote. Napríklad, informáciu o tom, kto je koho potomkom v množine žijúcich ľudí možno formalizovať pomocou usporiadaných dvojíc. Usporiadanú dvojicu $(a,b)$ potom možno interpretovať ako tvrdenie "človek $b$ je potomkom človeka $a$ ". Aj tu je podstatný fakt, že dvojica je usporiadaná - keby usporiadaná nebola, nebolo by jasné či $(a,b)$ znamená, že $a$ je potomkom $b$ alebo, že $b$ je potomkom $a$ .

Formálna definícia

V matematike sa pojem usporiadanej dvojice definuje rôzne, v závislosti od toho v akom kontexte sa definícia ďalej používa. Pre ktorúkoľvek zvolenú definíciu je podstatné hlavne to, aby platila základná vlastnosť usporiadaných dvojíc

(a,b)=(a',b')\Leftrightarrow a=a'\land b=b',

ktorá hovorí, že usporiadané dvojice sa zhodujú vtedy, keď sa zhodujú na prvej aj na druhej súradnici. (T.j. usporiadaná dvojica je jednoznačne určená prvým a druhým prvkom.)

Pre svoju jednoduchosť je populárna napríklad Kuratowského definícia, podľa ktorej je usporiadaná dvojica špeciálnou dvojprvkovou množinou:

(a,b)=_{\!_{\mathit {def}}}\{\{a\},\{a,b\}\}

Ak pri tejto definícii máme rovnosť $(a,b)=(a',b')$ , tak to znamená, že $\{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{a'\},\{a',b'\}\}$ . V prípade, že $a=b$ máme na ľavej strane rovnosti množinu $\{\{a\}\}$ a dostaneme $\{a'\}=\{a',b'\}=\{a\}$ , z čoho vyplýva, že $a'=b'=a$ . Ak $a\neq b$ , tak množina $\{\{a\},\{a,b\}\}$ obsahuje jednu jednoprvkovú a jednu dvojprvkovú množinu. Pretože $\{a'\}$ je rovná niektorému z prvkov tejto množiny a máme tu iba jednu jednoprvkovú množinu, dostávame $\{a'\}=\{a\}$ a $a'=a$ . Potom musí platiť aj $\{a,b\}=\{a',b'\}$ , z čoho už vieme odvodiť aj $b=b'$ . Teda pri Kuratowského definícii usporiadané dvojice z rovnosti $(a,b)=(a',b')$ skutočne vyplýva $a=a'$ a $b=b'$ .

Pozri aj

Neusporiadaná dvojica
Karteziánsky súčin

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.