Miera (matematika)

Miera je v matematike pojem pre funkciu, ktorá každej množine z vhodného systému podmnožín danej množiny X priradí reálne číslo tak, že sú splnené isté podmienky, nazývané axiómy miery. Axiómy miery zachytávajú základné vlastnosti, ktoré sa vyžadujú od funkcie vyjadrujúcej veľkosť množiny. Mieru teda možno považovať za zovšeobecnenie pojmov ako počet prvkov, dĺžka, vzdialenosť, plocha, či objem.

Miera je ústredným pojmom teórie miery, ktorej cieľom je študovať abstraktné konštrukcie umožňujúce matematicky študovať pojem kvantity. Pojem miery má množstvo aplikácií, predovšetkým v teórii integrálu a teórii pravdepodobnosti.

Definícia

Nech X je množina, nech ${\mathcal {Z}}$ je nejaký systém podmnožín množiny X taký, že platí $\emptyset \in {\mathcal {Z}}$ . Mierou nazveme ľubovoľnú nezápornú reálnu funkciu $\mu :{\mathcal {Z}}\to \mathbb {R} _{0}^{+}$ , ktorá je navyše σ-aditívna, t. j. platí

$\mu (\emptyset )=0,$
pre každú postupnosť $\{E_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ navzájom disjunktných množín patriacich do ${\mathcal {Z}}$ platí
$\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}\in {\mathcal {Z}}\Rightarrow \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n}).$

Definičné obory mier

Miera sa väčšinou neštuduje na všeobecných systémoch podmnožín danej množiny, ale len na takých systémoch podmnožín, ktoré spĺňajú isté podmienky. Najbežnejšie sa miera študuje na σ-okruhoch, okruhoch a σ-algebrách, v prípade potreby väčšej všeobecnosti, najmä v kvantovej mechanike, aj na σ-triedach.

Literatúra

Švec, M., Šalát, T., Neubrunn, T.: Matematická analýza funkcií reálnej premennej. Alfa, 1987.

Externé odkazy

Článok o miere - Wolfram MathWorld (po anglicky).

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.