Rovinný graf

Dôkaz Eulerovej vety urobíme indukciou vzhľadom na počet hrán ${\displaystyle h}$. Veta zrejme platí v grafoch bez hrán. Predpokladajme teraz, že platí pre všetky rovinné grafy, ktoré majú menej ako ${\displaystyle h}$ hrán (indukčný predpoklad). Nech ${\displaystyle G}$ je rovinný graf s ${\displaystyle h}$ hranami. Budeme rozlišovať dva prípady:

a) Nech ${\displaystyle G}$ obsahuje most. Potom po vynechaní mostu sa rozpadne na dva rovinné grafy ${\displaystyle G_{1}}$, ${\displaystyle G_{2}}$. Nech počet vrcholov, hrán a oblastí grafu ${\displaystyle G_{1}}$ je ${\displaystyle v_{1}}$, ${\displaystyle h_{1}}$, ${\displaystyle s_{1}}$ a grafu ${\displaystyle G_{2}}$ je ${\displaystyle v_{2}}$, ${\displaystyle h_{2}}$, ${\displaystyle s_{2}}$. Pre ${\displaystyle G_{1}}$ a ${\displaystyle G_{2}}$ už (podľa indukčného predpokladu) veta platí. Teda máme ${\displaystyle h_{1}=v_{1}+s_{1}-2}$, ${\displaystyle h_{2}=v_{2}+s_{2}-2}$. Ďalej ${\displaystyle v_{1}+v_{2}=v}$ – počet vrcholov grafu ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle h_{1}+h_{2}=h-1}$, ${\displaystyle s_{1}+s_{2}=s+1}$ (vynechaním mostu sa počet oblastí nemení, ale v súčte ${\displaystyle s_{1}+s_{2}}$ sa vonkajšia oblasť započíta dvakrát). Z posledných rovností a z uvedených vzťahov vyššie dostaneme: ${\displaystyle h=h_{1}+h_{2}+1=(v_{1}+s_{1}-2)+(v_{2}+s_{2}-2)+1=(v_{1}+v_{2})+(s_{1}+s_{2})-3=v+(s+1)-3=v+s-2}$.

b) Nech ${\displaystyle G}$ neobsahuje most. Potom zoberme ľubovolnú hranu ${\displaystyle h}$. Hrana ${\displaystyle h}$ je obsiahnutá v nejakej kružnici. Zoberme najkratšiu kružnicu ${\displaystyle C}$, v ktorej je hrana ${\displaystyle h}$ obsiahnutá. Vnútri kružnice ${\displaystyle C}$ sa pri vhodnom kreslení diagramu grafu nachádza nejaká oblasť, ktorá vynechaním hrany ${\displaystyle h}$ zanikne. Teda, ak ${\displaystyle G'}$ má práve o jednu oblasť menej ako ${\displaystyle G}$. Pritom má ten istý počet vrcholov. Pre ${\displaystyle G'}$ však veta platí, preto platí aj pre ${\displaystyle G}$. Tým je dôkaz ukončený.

Ak ${\displaystyle G}$ je rovinný graf, v ktorom všetky oblasti sú ohraničené kružnicami ${\displaystyle C_{n}}$, tak ${\displaystyle h={\frac {n(v-2)}{n-2}}}$.

Keď ${\displaystyle G}$ je rovinný graf s ${\displaystyle v\geq 3}$ vrcholmi a s maximálnym počtom hrán, tak každá oblasť je ${\displaystyle C_{3}}$ a platí ${\displaystyle h=3v-6}$.

Ak v rovinnom grafe sú všetky oblasti ohraničené kružnicami ${\displaystyle C_{4}}$, tak ${\displaystyle h=2v-4}$.

Predpokladajme, že máme diagram planárneho grafu, ktorý je nakreslený v zmysle definície, ktorá hovorí o zostrojení diagramu tak, že rôzne hrany majú spoločné nanajvýš krajné vrcholy. Takýto diagram rozdeľuje hranami rovinu na disjunktné oblasti (ak obsahuje aspoň jednu kružnicu) a tie budeme nazývať oblasťami planárneho grafu. Vonkajšia oblasť je tá z oblastí, ktorá je neohraničená.

Nech G = (V,H) je súvislý planárny graf a nech r je počet oblastí grafu G. Potom platí:

|H| − |V| + 2 = r. (Eulerova formula)

Použitím cyklomatického čísla grafu môžeme Eulerov vzorec zapísať v tvare:

r = μ(G) + 1,

v ktorom má ľahko zrozumiteľnú interpretáciu – počet oblastí planárneho grafu je rovný počtu nezávislých kružníc grafu zväčšenému o 1 (za vonkajšiu oblasť). Cyklomatické číslo grafu G, ktoré nám vlastne udáva minimálny možný počet hrán, odobraním ktorých je možné z grafu odstrániť všetky kružnice, vieme matematicky vyjadriť nasledovne:

μ(G) = |H| − |V| + p,

kde p je počet komponentov. Komponentom grafu G patriacim k vrcholu v grafu G nazývame súhrn všetkých prvkov grafu G, ktoré patria do niektorej cesty začínajúcej sa vo vrchole v. Každý graf sa skladá z komponentov. Graf s jedným komponentom sa nazýva súvislý. Ak sa v slede neopakuje ani jedna hrana a ani jeden vrchol, nazýva sa cesta. Sledom z vrcholu u do vrcholu v nazývame konečnú postupnosť ${\displaystyle [v_{0},h_{1},v_{1},h_{2},...v_{(}n-1),n,v_{n}],n\in N}$, kde ${\displaystyle v_{0},..v_{n}}$ sú vrcholy grafu ${\displaystyle (v_{0}=u,v_{n}=v),h_{1},...h_{n}}$ sú hrany grafu. Pritom predpokladáme, že každá hrana ${\displaystyle h_{i}(i=1,..,n)}$ spája vrcholy ${\displaystyle v_{(}i-1)av_{i}}$. Počet hrán v slede sa nazýva dĺžka sledu. Ak ${\displaystyle u=v}$, sled nazývame uzavretý, v opačnom prípade otvorený.

Eulerova veta formuluje iba nutnú podmienku pre planaritu grafu, nie postačujúcu. Vyplýva z nej však viacero dôsledkov použiteľných na charakterizáciu planarity.

Graf G je planárny práve vtedy, ak neobsahuje podgraf homeomorfný s niektorým z grafov ${\displaystyle K_{5}}$ a ${\displaystyle K_{3,3}}$.

Táto veta rieši problematiku planárnosti grafov s využitím výhradne kombinatorických prostriedkov (bez kreslenia diagramu grafu). V roku 1930 ju dokázal poľský matematik Kuratowski.

Grafy ${\displaystyle G_{1}}$ a ${\displaystyle G_{2}}$ sú homeoformné, ak sú izomorfné, alebo konečným počtom rozpoľovania hrán v týchto grafoch dostaneme také grafy, ktoré budú izomorfné.

• Nech G = (V, E) je rovinný graf s aspoň 3 vrcholmi. Potom |E|≤ 3|V|-6. Navyše rovnosť nastáva pre každý maximálne rovinný graf; t. j. rovinný graf, ku ktorému nejde pridať žiadnu hranu (pri zachovaní množiny vrcholov) tak, aby zostal rovinným.
• Ak neobsahuje najviac uvažovaný rovinný graf trojuholník (t. j. K3 ako podgraf) a má aspoň 3 vrcholy, potom |E|≤2|V|−4.

V tomto tvrdení nepripúšťame grafy s násobnými hranami.

Príkladom sú už uvedené grafy K5, K3, 3. Uvedené grafy predstavujú zároveň minimálne neplanárne grafy: K5 má najmenší počet vrcholov (5) a K 3,3 má najmenší počet hrán (9). Ukazuje sa, že tieto dva grafy hrajú veľmi významnú úlohu v súvislosti s planaritou grafov.

Silne rovinný v-vrcholový graf má maximálne ${\displaystyle 2v-3}$ hrán.