Maxwellove rovnice

Nižšie uvedený zápis je platný v jednotkách sústavy SI. V iných sústavách sa v zápise objavujú navyše konštanty ako napr. rýchlosť svetla c a ${\displaystyle 4\pi }$ (Ludolfovo číslo) v sústave CGS.

Štvrtá Maxwellova rovnica (Zákon spojitosti magnetického indukčného toku)

integrálny tvar

${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {B} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {S} =0.}$

Magnetický indukčný tok ľubovolnou uzavrenou orientovanou plochou S je rovný nule.

diferenciálny tvar

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0.}$

Divergencia vektoru magnetickej indukcie B je rovná nule. Ekvivalentná formulácia: neexistujú magnetické monopóly (neexistujú magnetické náboje).

Fyzikálne premenné použité v Maxwellových rovniciach zhŕňa nasledujúca tabuľka

Označenie	Význam	Jednotka SI
${\displaystyle \mathbf {E} }$	intenzita elektrického poľa	V/m
${\displaystyle \mathbf {H} }$	intenzita magnetického poľa	A/m
${\displaystyle \mathbf {D} }$	elektrická indukcia	C/m²
${\displaystyle \mathbf {B} }$	magnetická indukcia	T
${\displaystyle \ \rho \ }$	hustota voľného náboja	C/m³
${\displaystyle \mathbf {j} }$	hustota prúdu	A/m²

Pre širokú triedu materiálov možno predpokladať, že sú veličiny hustota polarizácie P (C/m²) a hustota magnetizácie M (A/m) vyjadrené ako:

${\displaystyle \mathbf {P} =\chi _{e}\varepsilon _{0}\mathbf {E} }$

${\displaystyle \mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H} }$

a že pole D a B sú s E a H sú zviazané vzťahmi:

${\displaystyle \mathbf {D} \ \ =\ \ \varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \ \ =\ \ (1+\chi _{e})\varepsilon _{0}\mathbf {E} \ \ =\ \ \varepsilon \mathbf {E} }$

${\displaystyle \mathbf {B} \ \ =\ \ \mu _{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M} )\ \ =\ \ (1+\chi _{m})\mu _{0}\mathbf {H} \ \ =\ \ \mu \mathbf {H} ,}$

kde:

${\displaystyle \chi _{e}}$ je elektrická susceptibilita materiálu,

${\displaystyle \chi _{m}}$ je magnetická susceptibilita materiálu,

ε je elektrická permitivita materiálu a

μ je magnetická permeabilita materiálu

V nedisperznom izotropnom prostredí sú ε a μ skaláry nezávislé od času, takže Maxwellove rovnice prejdú na tvar:

${\displaystyle \nabla \cdot \varepsilon \mathbf {E} =\rho }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mu \mathbf {H} =0}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-\mu {\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {j} +\varepsilon {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$

V homogénnom prostredí sú ε a μ konštanty nezávislé od polohy a možno teda ich polohu zameniť s parciálnymi deriváciami podľa súradníc.

Všeobecne môžu byť ε a μ tenzormi druhého stupňa, ktoré potom odpovedajú popisu dvojlomových (anizotropných) materiálov. Nehľadiac na tieto priblíženia však každý reálny materiál vykazuje istú materiálovú disperziu, kvôli ktorej ε alebo μ závisí na frekvencii.

Pre väčšinu typov vodičov platí medzi prúdom a elektrickou intenzitou Ohmov zákon v tvare

${\displaystyle \mathbf {j} =\gamma \mathbf {E} ,}$

kde γ je merná vodivosť daného materiálu.

Ekvivalentne (a často s výhodou) možno vyjadriť Maxwellove rovnice pomocou skalárneho a vektorového potenciálu ${\displaystyle \Phi \,\!}$ a ${\displaystyle {\vec {A}}\,\!}$, ktoré sú definované tak, aby platilo

${\displaystyle {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}}$

${\displaystyle {\vec {E}}=-\nabla \Phi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}.}$

${\displaystyle {\vec {E}}\,\!}$ a ${\displaystyle {\vec {B}}\,\!}$ sa pritom nezmenia, ak od potenciálu ${\displaystyle \Phi \,\!}$ odčítame ľubovolnú ${\displaystyle {\frac {\partial \xi }{\partial t}}}$, alebo k ${\displaystyle {\vec {A}}\,\!}$ pričítame ${\displaystyle \nabla \xi }$, kde ${\displaystyle \xi \,\!}$ je ľubovolná skalárna funkcia. Preto pre jednoduchosť výsledných rovníc môžeme navyše zvoliť tzv. Lorentzovu kalibračnú podmienku

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {A}}+\varepsilon \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}=0.}$

Maxwellove rovnice potom majú tvar vlnových rovníc v časopriestore

${\displaystyle \square \Phi =-{\frac {\rho }{\varepsilon }},}$

${\displaystyle \square {\vec {A}}=-\mu \,{\vec {j}},}$

kde ${\displaystyle \square }$ je d’Alembertov operátor.

V špeciálnej teórii relativity tvorí elektrický a magnetická potenciál dohromady štvorvektor nazývaný štvorptenciál ${\displaystyle A^{\nu }.}$ D'Alembertov operátor je tiež možné zobecniť na štvorvektory. V tomto formalizme (a s predpokladom Lorenzovej podmienky) sa dajú všetky Maxwellove rovnice napísať pomocou jednej nehomogénnej vlnovej rovnici

${\displaystyle \Box A^{\nu }=-\mu J^{\nu },}$

kde ${\displaystyle J^{\nu }}$je elektrický štvorprúd a ${\displaystyle \mu }$ je permeabilita. Vo vákuu je štvorprúd nulový, takže rovnica sa stane homogénnou a jej riešenie zodpovedá šíreniu elektromagnetických vĺn.

• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Maxwellovy rovnice na českej Wikipédii.