Divergencia (vektorové pole)
Divergencia je diferenciálny operátor používaný vo vektorovej analýze. Ak je skúmaným poľom napr. gradient teploty (vektory nech udávajú napr. rýchlosť vedenia tepla), potom kladná divergencia v danom bode znamená, že v danom bode vzniká teplo, záporná naopak, že v danom mieste teplo zaniká.
Divergenciu využíva Gaussova veta, ktorá prevádza výpočet toku vektorového poľa cez uzavretú plochu na výpočet integrálu divergencie daného vektorového poľa z objemu v tejto ploche uzavretého.
Definícia
Ak sú x, y, z karteziánske súradnice v 3-rozmernom euklidovskom priestore, a ex, ey, ez je báza jednotkových vektorov v danom priestore, a
je spojité diferencovateľné vektorové pole, potom jeho divergenciu definujeme ako skalárnu veličinu
Napriek tomu, že je divergencia definovaná v karteziánskych súradniciach, ide o invariantnú veličinu, ktorá nadobúda rovnaké hodnoty vo všetkých súradných sústavách.
V n-rozmernom priestore možno operátor divergencie vyjadriť prostredníctvom skalárneho súčinu operátoru nabla a vektoru v, tzn.
- ,
kde sa využilo Einsteinove sumačné pravidlo.
Operátor divergencie sa zapisuje aj ako
Deriváciou tenzora T n-tého stupňa dostaneme tenzor stupňa n+1 so zložkami . Kontrakciou indexu t proti indexu s získame divergenciu tenzoru T, čo je tenzor stupňa n-1.
Divergencia teda znižuje stupeň tenzoru o 1, napr. divergenciou vektora získame skalár.
Vlastnosti
Ak označíme F, G ako vektorové polia, f ako skalárne pole, a,b reálne čísla, potom operátor divergencie spĺňa nasledujúce identity:
Je lineárna voči reálnym číslam
aplikovaná na súčin funkcie a vektorového poľa spĺňa identitu
- .
Pre divergenciu vektorového súčinu platí
- ,
kde ∇ × F je rotácia F.
Ďalej divergencia rotácie sa rovná nule:
- .
Vyjadrenie v rôznych súradných sústavách
Nasledujúce vzťahy udávajú vyjadrenie divergencie v rôznych súradných sústavách v trojrozmernom priestore. Ak je F vektorové pole v v daných súradniciach, tak platí
Vo valcových súradniciach:
Vo sférických súradniciach:
Ak použijeme všeobecné ortogonálne súradnice x1,x2,x3, ktorej Laméove koeficienty sú v tomto poradí h1,h2,h3
V úplne všeobecných súradniciach pre zložky vektora divergencie platí
Dohovor: Kým v predchádzajúcom texte sme za bázu brali ortonormálnu bázu v daných súradniciach, vo vzorci pre všeobecné súradnice používame bázu vektorov alebo diferenciálnych foriem a explicitne uvedieme ktorú. Rovnako v predchádzajúcom texte nerozlišujeme polohu indexov a všetky indexy (ortonormálnej bázy aj súradníc) píšeme dole, no vo všeobecných súradniciach polohu indexov rozlišujeme.