Tenzor

Tenzor je v matematike objekt, ktorý je zovšeobecnením pojmu vektor. Zatiaľ čo zložky vektora je možné označiť jedným indexom, tenzor môže mať viac indexov, napr. ${\displaystyle T_{kl\cdots n}}$.

Ako tenzor T sa označuje súbor reálnych alebo komplexných čísel ${\displaystyle T_{{i_{1}}{i_{2}}\cdots {i_{n}}}}$ (počet indexov je n), ktoré sa nazývajú zložky (komponenty) tenzoru, ktoré sa pri transformácii súradníc ${\displaystyle x_{i}^{\prime }=\sum _{j}a_{ij}x_{j}}$ transformujú nasledujúcim spôsobom.

${\displaystyle T_{{i_{1}}{i_{2}}\cdots {i_{n}}}^{\prime }=\sum _{{k_{1}}{k_{2}}\cdots {k_{n}}}a_{{i_{1}}{k_{1}}}a_{{i_{2}}{k_{2}}}\cdots a_{{i_{n}}{k_{n}}}T_{{k_{1}}{k_{2}}\cdots {k_{n}}}}$

Ak je n je počet indexov tenzoru T, potom hovoríme o tenzore n-tého rádu.

Časť matematiky, ktorá pri svojej práci používa tenzory, sa označuje ako tenzorový počet. Tenzory sa uplatňujú nielen v matematike, ale aj vo fyzike.

Ak máme napr. dva vektory ${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} }$, môžeme z nich vytvoriť tenzor druhého rádu, ktorého zložky budú určené vzťahom ${\displaystyle T_{ij}=A_{i}B_{j}}$. Tenzorový charakter je možné overiť na základe transformačných pravidiel pre vektory, tzn.

${\displaystyle T_{kl}^{\prime }=A_{k}^{\prime }B_{l}^{\prime }=(\sum _{i}a_{ki}A_{i})(\sum _{j}a_{lj}B_{j})=\sum _{i,j}a_{ki}a_{lj}A_{i}B_{j}=\sum _{i,j}a_{ki}a_{lj}T_{ij}}$

Špeciálnymi prípadmi tenzorov sú tenzory nultého rádu, ktoré sa označujú ako skaláry a tenzory prvého rádu, teda vektory.