Boolova algebra

Boolova algebra je definovaná ako distributívny komplementárny zväz.

Boolova algebra je šestica (A, ∧, ∨, −, 0, 1), kde A je neprázdna množina, 0 ∈ A je najmenší, 1 ∈ A najväčší prvok, − je unárna operácia (komplement) a ∧, ∨ sú binárne operácie (priesečník, spojenie) na A, spĺňajúce nasledujúce axiómy.

Komutativita:	${\displaystyle x\lor y=y\lor x}$	${\displaystyle x\land y=y\land x}$
Distributivita:	${\displaystyle x\lor (y\land z)=(x\lor y)\land (x\lor z)}$	${\displaystyle x\land (y\lor z)=(x\land y)\lor (x\land z)}$
Neutralita 0 a 1:	${\displaystyle x\lor 0=x}$	${\displaystyle x\land 1=x}$
Komplementarita:	${\displaystyle x\lor -x=1}$	${\displaystyle x\land -x=0}$
Nedegenerovanosť:	${\displaystyle 0\neq 1}$

Pre Boolovu algebru A a každé x, y, z ∈ A platí:

• asociativita: (x ∨ y) ∨ z = x ∨ (y ∨ z), (x ∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z)
• absorpcia: x ∨ (x ∧ y) = x, x ∧ (x ∨ y) = x
• agresivita nuly: x ∧ 0 = 0
• agresivita jednotky: x ∨ 1 = 1
• idempotencia: x ∨ x = x, x ∧ x = x
• absorpcia negácie: x ∨ (−x ∧ y) = x ∨ y, x ∧ (−x ∨ y) = x ∧ y
• dvojitá negácia: −(−x) = x
• De Morganove zákony: −x ∧ −y = −(x ∨ y), −x ∨ −y = −(x ∧ y)
• 0 a 1 sú vzájomne komplementárne: −0 = 1, −1 = 0

Existujú najmenej tri najznámejšie tradície v označovaní v teórii Boolovej algebry. Vo vyššie použitej definícii sú použité symboly ${\displaystyle \lor ,\land ,\lnot }$, ale bežne sú používané tiež ${\displaystyle \cup ,\cap ,\sim }$, a na bežné použitie tiež ${\displaystyle +,\cdot ,-}$. Symboly dvojargumentovýh operácií Boolovej algebry sú takmer vždy výberom jedného z páru ${\displaystyle (+,\cdot )}$, ${\displaystyle (\lor ,\land )}$ alebo ${\displaystyle (\cup ,\cap )}$. Označenie operácií jednoargumentowej algebry je menej, v dôsledku toho sa môžeme stretnúť ako so symbolmi ${\displaystyle +,\cdot ,\sim }$ tak aj ${\displaystyle \lor ,\land ,{}^{\prime }}$.

Symboly ${\displaystyle \wedge ,\vee }$ sa často používajú v súvislosti algebrickými teóriami.

Stretávame sa aj s použitím iných symbolov resp. ich kombinácií (na príklad  &  na miesto  ${\displaystyle \cap }$,  alebo  ${\displaystyle a^{\prime }}$  namiesto  ${\displaystyle \;\sim a}$. V oblasti elektroniky a informačných technológií je často používaný ako OR, AND resp. NOT  na mieste  ${\displaystyle \cup }$, ${\displaystyle \cap }$ resp. ${\displaystyle \sim }$.

• Najjednoduchšia Boolova algebra obsahuje len jeden prvok, alebo 0 = 1 (tu nejde o spor, ale o dvojité označovanie jedného prvku). Všetky operácie dávajú rovnaký výsledok (iné tu ani neexistujú), preto sa nazýva triviálne. Táto algebra samozrejme môže existovať jedine vtedy, keď sa vypustí Axiom nedegenerovanosti.
• Duálna algebra je algebra nad množinou A= (0, 1), kde operácie sú dané prirodzeným spôsobom.

Používané Boolové algebry

Najvýznamnejšími príkladmi Boolových algebier sú algebry výrokov (alebo všeobecnejšie Lindenbaumovej algebry formulí) a množinové algebry.

• U algebier výrokov v dvojhodnotovej logike je A= (nepravda, pravda), 0 = nepravda, 1 = pravda, a operácie zodpovedajú disjunkcii, konjunkcii a negácii.

Konjunkcia ${\displaystyle \wedge }$ 0 1 0 0 0 1 0 1

Disjunkcia ${\displaystyle \lor }$ 0 1 0 0 1 1 1 1

Negácia   ${\displaystyle \neg }$ 0 1 1 0

• Lindenbaumovy algebry sú definované nad množinou A všetkých tried ekvivalencie formulou dotknutého jazyka a operácie sú rovnaké ako u algebier výrokov.
• U množinových algebier je algebra definovaná nad potenčnou množinou ľubovoľnej množiny S, tzn. A= 2 ^S, najmenším prvkom 0 je prázdna množina, najväčším prvkom 1 je sama množina Sa operácie zodpovedajú prieniku, zjednoteniu a doplnku do množiny S.

• De Morganove zákony