Elementární vnoření

Nechť A, B jsou dvě struktury téhož jazyka. Prosté zobrazení ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ se nazývá elementární vnoření (struktury A do struktury B), je-li pro každou formuli ${\displaystyle \varphi ({\overline {x}})}$, kde ${\displaystyle {\overline {x}}=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ jsou všechny volné proměnné vyskytující se ve ${\displaystyle \varphi }$, ${\displaystyle (\forall {\overline {a}}\in A^{n})(A\models \varphi ({\overline {a}})\Leftrightarrow B\models \varphi (f({\overline {a}})))}$.

Nechť ${\displaystyle A\subseteq B}$ jsou dvě struktury téhož jazyka, resp. dva modely téže teorie. Pak řekneme, že A je elementární podstrukturou, resp. elementárním podmodelem, B právě tehdy, když identita na A je elementární vnoření. V obou případech značíme ${\displaystyle \,A\prec B}$.

Nechť ${\displaystyle A\subseteq B}$ jsou dvě struktury téhož jazyka, resp. dva modely téže teorie. Pak řekneme, že B je elementární rozšíření A, je-li A elementární podstrukturou, resp. elementárním podmodelem, B.