Konstruovatelná množina

Označme symboly ${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots ,F_{7}\,\!}$ následující množinové funkce:

• ${\displaystyle F_{1}(x)=Dom(x)\,\!}$
• ${\displaystyle F_{2}(x)=\{[a,b]\in x:a\in b\}\,\!}$
• ${\displaystyle F_{3}(x)=\{[a,b]:[b,a]\in x\}\,\!}$
• ${\displaystyle F_{4}(x)=\{[a,b,c]:[a,c,b]\in x\}\,\!}$
• ${\displaystyle F_{5}(x,y)=\{x,y\}\,\!}$
• ${\displaystyle F_{6}(x,y)=x-y\,\!}$
• ${\displaystyle F_{7}(x,y)=x\times y\,\!}$

Funkce ${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{7}}$ se nazývají základní operace či gödelovské operace. Řekneme, že množina ${\displaystyle S\,\!}$ je uzavřená na základní operace, pokud s každými dvěma množinami obsahuje i jejich obrazy podle výše uvedených sedmi funkcí, tj.
${\displaystyle (\forall x,y\in S)(F_{1}(x),F_{2}(x),F_{3}(x),F_{4}(x),F_{5}(x,y),F_{6}(x,y),F_{7}(x,y)\in S)}$

Máme-li množinu ${\displaystyle S\,\!}$, definujme posloupnost množin ${\displaystyle S_{0},S_{1},\ldots ,\,\!}$ takto:

• ${\displaystyle S_{0}=S\,\!}$
• ${\displaystyle S_{n+1}=S_{n}\cup \{x:(\exists u,v\in S_{n})(x\in \{F_{1}(u),F_{2}(u),F_{3}(u),F_{4}(u),F_{5}(u,v),F_{6}(u,v),F_{7}(u,v)\})\}\,\!}$

Definujme uzávěr množiny S na základní operace jako:
${\displaystyle Df(S)=\bigcup \{S_{n}:n<\omega \}}$

Vypadá to sice hrozivě, ale není na tom nic tak strašného - přeříkáno „po lidsku“ je uzávěr množina, která k prvkům původní množiny ${\displaystyle S\,\!}$ přidá všechny výsledky libovolně nakombinovaných základních operací provedených pro prvky z ${\displaystyle S\,\!}$.
Není příliš složité si uvědomit, že uzávěr je množina uzavřená na základní operace, a že je to nejmenší taková nadmnožina pro ${\displaystyle S\,\!}$. Speciálně: pokud je ${\displaystyle S\,\!}$ uzavřená na základní operace, platí ${\displaystyle Df(S)=S\,\!}$, to znamená, že množina uzavřená na základní operace je sama sobě uzávěrem.

Na závěr ještě označme ${\displaystyle Df^{+}(S)=Df(S\cup \{S\})\cap \mathbb {P} (S)}$
Důvodem této (čistě pomocné) definice je, že při vytváření konstruovatelných množin nás nebudou zajímat uzávěry jako takové, ale pouze ty prvky uzávěru, které jsou podmnožinou původní množiny.

Definujme transfinitní rekurzí množinové zobrazení ${\displaystyle L\,\!}$ pro všechna ordinální čísla ${\displaystyle \alpha \,\!}$ takto:
${\displaystyle L_{0}=\emptyset \,\!}$, t.j. prázdná množina

• ${\displaystyle L_{\alpha +1}=Df^{+}(L_{\alpha })\,\!}$, t.j. „modifikovaný“ uzávěr předchozího člena posloupnosti
• ${\displaystyle L_{\alpha }=\bigcup \{L_{\beta }:\beta <\alpha \}\,\!}$ pro limitní ordinál ${\displaystyle \alpha \,\!}$

Třída konstruovatelných množin ${\displaystyle \mathbb {L} }$ je definována jako:
${\displaystyle \mathbb {L} =\bigcup L_{\alpha }}$
Její prvky nazýváme konstruovatelné množiny.

Konstrukce třídy konstruovatelných množin ${\displaystyle \mathbb {L} }$ nápadně připomíná konstrukci fundovaného jádra ${\displaystyle \mathbb {WF} }$. Podstatný rozdíl je v tom, že zatímco v případě fundovaného jádra je další vrstva tvořena pomocí potenční množiny předchozí vrstvy, v případě ${\displaystyle \mathbb {L} }$ si vybírám pouze velice malou část potenční množiny. Snadno se dá ukázat, že
${\displaystyle |L_{\omega +1}|=\omega \,\!}$
zatímco pro vrstvu fundovaného jádra je
${\displaystyle |V_{\omega +1}|=2^{\omega }>\omega \,\!}$

V této analogii můžeme jít ještě dál:
Axiom fundovanosti v podstatě tvrdí (následující tvrzení je s ním ekvivalentní), že
${\displaystyle \mathbb {WF} =\mathbb {V} }$ - každá množina patří do fundovaného jádra.
Obdobně axiom konstruovatelnosti tvrdí, že
${\displaystyle \mathbb {L} =\mathbb {V} }$ - každá množina patří do třídy konstruovatelných množin (nebo jinak: každá množina je konstruovatelná).

Z definice ${\displaystyle \mathbb {L} }$ přímo plyne ${\displaystyle \mathbb {L} \subseteq \mathbb {WF} }$.

Axiom konstruovatelnosti je bezesporný s axiomy Zermelo-Fraenkelovy teorie množin a je dokonce nezávislý - i jeho negace ${\displaystyle \mathbb {L} \neq \mathbb {V} }$ je bezesporná s axiomy ZF.

Důvodem, proč je axiom fundovanosti součástí standardní axiomatiky ZF, zatímco axiom konstruovatelnosti nikoliv, je přílišná „síla“ axiomu konstruovatelnosti, který příliš zjednodušuje strukturu světa teorie množin.
Z axiomu konstruovatelnosti mimo jiné vyplývá axiom výběru (dokonce jeho silná verze) a také zobecněná hypotéza kontinua.

Třída konstruovatelných množin tvoří vnitřní model teorie množin - platí na ní všechny axiomy teorie množin (přesněji podoba těchto axiomů relativizovaná do ${\displaystyle \mathbb {L} }$. Je to tedy vhodný nástroj pro testování nezávislosti a bezespornosti různých hypotéz - pokud totiž nějaká hypotéza platí v modelu ${\displaystyle \mathbb {L} }$, pak je bezesporná s axiomy ZF.