Totální diferenciál

Nechť ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ je funkce n reálných proměnných definovaná na jistém okolí bodu ${\displaystyle \mathbf {x} }$. Totálním diferenciálem funkce ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ v bodě ${\displaystyle \mathbf {x} }$ nazýváme lineární funkci ${\displaystyle \mathrm {d} f_{\mathbf {x} }(\mathrm {d} \mathbf {x} )}$, s níž lze funkci ${\displaystyle f}$ v okolí bodu ${\displaystyle \mathbf {x} }$ aproximovat jako

${\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathrm {d} \mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )+\mathrm {d} f_{\mathbf {x} }(\mathrm {d} \mathbf {x} )+\varepsilon _{\mathbf {x} }(\mathrm {d} \mathbf {x} )}$

tak, že pro chybu aproximace ${\displaystyle \varepsilon _{\mathbf {x} }(\mathrm {d} \mathbf {x} )}$ platí

${\displaystyle \lim _{\mathrm {d} \mathbf {x} \to \mathbf {0} }{\frac {\varepsilon _{\mathbf {x} }(\mathrm {d} \mathbf {x} )}{\|\mathrm {d} \mathbf {x} \|}}=0}$.

Jestliže taková lineární funkce existuje, pak má tvar

${\displaystyle \mathrm {d} f_{\mathbf {x} }(\mathrm {d} \mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {x} )\mathrm {d} x_{i}}$

a říkáme, že funkce ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ má v bodě ${\displaystyle \mathbf {x} }$ totální diferenciál neboli že je v bodě ${\displaystyle \mathbf {x} }$ diferencovatelná.

• Jestliže má funkce ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ na jistém okolí bodu ${\displaystyle \mathbf {x} }$ spojité všechny parciální derivace, pak má v bodě ${\displaystyle \mathbf {x} }$ totální diferenciál.
• Jestliže má funkce ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ v bodě ${\displaystyle \mathbf {x} }$ totální diferenciál, pak je v bodě ${\displaystyle \mathbf {x} }$ spojitá a má v něm směrovou derivaci v každém směru.

• Pro názornou interpretaci geometrického významu totálního diferenciálu budeme uvažovat 2D funkci ${\displaystyle f({\vec {x}})={\sqrt {27-x^{2}-y^{2}}}}$ a bod, ve kterém budem zkoumat existenci totálního diferenciálu ${\displaystyle {\vec {a}}=(1,1)}$.
• Jelikož tato funkce splňuje podmínky existence totálního diferenciálu, musí platit ${\displaystyle f({\vec {x}})-f({\vec {a}})=\sum _{i=1}^{r}{\alpha _{i}(x_{i}-a_{i})+\nu ({\vec {x}}-{\vec {a}})}}$.
• Abychom si znázornili totální diferenciál, vypustíme zbytkovou funkci ${\displaystyle \nu ({\vec {x}}-{\vec {a}})}$
• ${\displaystyle \alpha _{1}={\frac {\partial f}{\partial x}}({\vec {a}})=-{\frac {x}{\sqrt {27-x^{2}-y^{2}}}}(1,1)=-{\frac {1}{5}}}$, ${\displaystyle \alpha _{2}={\frac {\partial f}{\partial y}}({\vec {a}})=-{\frac {y}{\sqrt {27-x^{2}-y^{2}}}}(1,1)=-{\frac {1}{5}}}$, ${\displaystyle f({\vec {a}})=5}$
• Po dosazení za neznámé do rovnice a přeznačení ${\displaystyle f({\vec {x}})}$ na ${\displaystyle z}$ dostaneme ${\displaystyle }$ ${\displaystyle z-5=-{\frac {1}{5}}(x-1)-{\frac {1}{5}}(y-1)\sim z={\frac {27}{5}}-{\frac {x}{5}}-{\frac {y}{5}}}$
• Nyní se podívejme na grafy funkcí ${\displaystyle f({\vec {x}})}$ a funkce ${\displaystyle z({\vec {x}})}$

Graf č.1

• Z grafu je vidět že geometrický význam totálního diferenciálu je rovina tečná k funkci ${\displaystyle f({\vec {x}})}$ v bodě ${\displaystyle {\vec {a}}}$
• Pro funkci jedné proměnné představuje totální diferenciál tečnou přímku.

• Krbálek, Milan. Matematická analýza IV. 3., přeprac. vyd. V Praze: České vysoké učení technické, 2009, 252 s. ISBN 978-80-01-04315-8.