Dynkinův systém

Dynkinův systém, je pojem z teorie míry a teorie pravděpodobnosti, podoborů matematiky. Rozumí se jím systém podmnožin dané množiny, který splňuje tři axiomy o něco slabší než axiomy požadované od používanějších σ-algeber. Sám Jevgenij Borisovič Dynkin, rusko-americký matematik, po kterém jsou pojmenovány, je označoval za λ-systémy.

Definice

Nechť je $\Omega$ neprázdná množina a $D$ je podmnožina její potenční množiny, tedy množina některých podmnožin $\Omega$ . Pak je $D$ Dynkinův systém, pokud:

$\Omega \in D$ ,
pokud $A,B\in D$ a $A\subseteq B$ , pak i $B\setminus A\in D$ (s množinou a podmnožinou tam patří i jejich rozdíl) a
pokud $A_{1},A_{2},A_{3},\dots$ je posloupnost podmnožin $D$ a $A_{n}\subseteq A_{n+1}$ pro všechna $n\geq 1$ , pak $\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D$ .

Alternativní definice

Ekvivalentní definice má za stejných předpokladů tyto tři podmínky:

$\Omega \in D$ ,
pokud $A\in D$ , pak i $A^{C}\in D$ a
pokud $A_{1},A_{2},A_{3},\dots$ je posloupnost podmnožin $D$ a $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$ pro všechna $i\neq j$ , pak $\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D$ .

Další možnou kombinací podmínek je:[1]

$\Omega \in D$ ,
pokud $A,B\in D$ a $A\subseteq B$ , pak i $B\setminus A\in D$ a
pokud $A_{1},A_{2},A_{3},\dots$ je posloupnost podmnožin $D$ a $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$ pro všechna $i\neq j$ , pak $\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D$ .

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Dynkin system na anglické Wikipedii.

LUKEŠ, Jaroslav; MALÝ, Jan. Míra a integrál. Praha: Karolinum, 2002. ISBN 80-246-0543-0. Kapitola 5.1 Množinové systémy, s. 15.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] LUKEŠ, Jaroslav; MALÝ, Jan. Míra a integrál. Praha: Karolinum, 2002. ISBN 80-246-0543-0. Kapitola 5.1 Množinové systémy, s. 15.