Taylorova řada

Rozvoj funkce ${\displaystyle f(x)}$, která má v okolí bodu ${\displaystyle a}$ konečné derivace do ${\displaystyle (n+1)}$-tého řádu je obsahem Taylorovy věty, která říká, že takovéto funkce lze v okolí bodu ${\displaystyle a}$ vyjádřit jako

${\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f^{\prime }(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{\prime \prime }(a)}{2!}}{(x-a)}^{2}+...+{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}{(x-a)}^{n}+R_{n+1}^{f,a}(x)}$.

Nechť je funkce ${\displaystyle \varphi }$ spojitá na okolí bodu ${\displaystyle a}$ a zároveň má na tomto okolí vlastní nenulovou derivaci. Potom existuje ${\displaystyle c}$ z tohoto okolí tak, že

${\displaystyle R_{n+1}^{f,a}(x)={\frac {1}{n!}}{\frac {\varphi (x)-\varphi (a)}{\varphi ^{\prime }(c)}}f^{(n+1)}(c)(x-c)^{n}}$.

Speciálně lze zbytek ${\displaystyle R_{n+1}}$ vyjádřit i některým z následujících tvarů (při zachování odpovídajících podmínek):

• ${\displaystyle R_{n+1}^{f,a}(x)={\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}{(x-a)}^{n+1}}$ (tzv. Lagrangeův tvar zbytku, tedy ${\displaystyle \varphi (t)=(x-t)^{n+1}}$)
• ${\displaystyle R_{n+1}^{f,a}(x)={\frac {1}{n!}}f^{(n+1)}(c)(x-c)^{n}(x-a)}$ (tzv. Cauchyův tvar zbytku, tedy ${\displaystyle \varphi (t)=t}$)

Taylorova řada funkce ${\displaystyle f(x)}$ konverguje v bodě ${\displaystyle x}$ k funkční hodnotě ${\displaystyle f(x)}$ právě když

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}^{f,a}(x)=0}$

Pro funkci ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ lze v okolí bodu ${\displaystyle A=[a_{1},a_{2},...,a_{n}]}$ vyjádřit Taylorovu větu pomocí totálních diferenciálů jako

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=f(a_{1},a_{2},...,a_{n})+{\frac {\mathrm {d} f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{1!}}+{\frac {\mathrm {d} ^{2}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{2!}}+...+{\frac {\mathrm {d} ^{n}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{n!}}+R_{n+1}^{f,a}}$,

kde funkci ${\displaystyle R_{n+1}^{f,a}}$, která udává chybu, které se dopouštíme při ukončení rozvoje n-tým členem, lze vyjádřit ve tvaru

${\displaystyle R_{n+1}^{f,a}={\frac {\mathrm {d} ^{n+1}f(a_{1}+\Theta (x_{1}-a_{1}),a_{2}+\Theta (x_{2}-a_{2}),...,a_{n}+\Theta (x_{n}-a_{n}))}{(n+1)!}}}$

pro ${\displaystyle \Theta \in (0,1)}$.

• Maclaurinova řada polynomu je tentýž polynom.
• aproximovanou hodnotu funkce ${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}}$ v blízkosti bodu ${\displaystyle x=0}$ určíme tak, že se omezíme pouze na n členů Taylorova rozvoje, čímž získáme Taylorův polynom stupně n-1

Taylorův rozvoj: ${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{i}}{i!}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-\infty ,\infty )}$

aproximovaná hodnota funkce: ${\displaystyle {\textrm {e}}^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{(n)!}}.}$

• ${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-1,1)}$

• ${\displaystyle {(1+x)}^{r}=1+{r \choose 1}x+{r \choose 2}x^{2}+{r \choose 3}x^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{r \choose n}x^{n}\;{\mbox{ pro }}r\in \mathbb {R} ,x\in (-1,1)}$, kde ${\displaystyle {\binom {r}{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {r-k+1}{k}}={\frac {r\cdot (r-1)\cdot \cdot \cdot (r-n+1)}{n!}}}$

• ${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-1,1\rangle }$

• ${\displaystyle a^{x}=1+{\frac {x\ln a}{1!}}+{\frac {x^{2}\ln ^{2}a}{2!}}+{\frac {x^{3}\ln ^{3}a}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(x\ln a)}^{n}}{n!}}\;{\mbox{ pro }}a>0,x\in (-\infty ,\infty )}$

• ${\displaystyle \ln {\frac {1+x}{1-x}}=2\left[x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \right]=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\;x\in (-1,1)}$

Goniometrické funkce:

• ${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-\infty ,\infty )}$
• ${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-\infty ,\infty )}$
• ${\displaystyle \operatorname {tg} \,x=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots \;{\mbox{ pro }}x\in (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}$
• ${\displaystyle \operatorname {cotg} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-\cdots \;{\mbox{ pro }}x\in (0,\pi )}$

Cyklometrické funkce:

• ${\displaystyle \operatorname {arcsin} \,x=x+{\frac {1}{2}}{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}{\frac {5}{6}}{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\;{\mbox{ pro }}x\in \langle -1,1\rangle }$

• ${\displaystyle \operatorname {arccos} \,x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin \,x={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {1}{2}}{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}{\frac {5}{6}}{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{2}}-x-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\;{\mbox{ pro }}x\in \langle -1,1\rangle }$

• ${\displaystyle \operatorname {arctg} \,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\;{\mbox{ pro }}x\in \langle -1,1\rangle }$

Hyperbolické funkce:

• ${\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-\infty ,\infty )}$

• ${\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-\infty ,\infty )}$

• ${\displaystyle \tanh \,x=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}-{\frac {17}{135}}x^{7}+\cdot \cdot \cdot \;{\mbox{ pro }}x\in {\Bigl (}-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}{\Bigr )}}$

Hyperbolometrické funkce:

• ${\displaystyle \operatorname {arsinh} \,x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\;{\mbox{ pro }}x\in \langle -1,1\rangle }$
• ${\displaystyle \operatorname {artanh} \,x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-1,1)}$

Chceme spočítat Taylorův polynom řádu 7 v bodě 0 funkce ${\displaystyle f(x)=\ln(\cos(x))}$. Nejprve si funkci přepíšeme jako ${\displaystyle f(x)=\ln(1+(\cos(x)-1)).}$

Taylorův polynom přirozeného logaritmu je ${\displaystyle \ln(1+z)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}+O(z^{4})}$ a funkce kosinus ${\displaystyle z=\cos(x)-1=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+O(x^{8})}$ (používáme notaci velké O, neboli Landauovu notaci).

Nyní využijeme substituce vnitřní funkce a vynecháme členy stupně vyššího než 7 díky použití notace velké O:

${\displaystyle f(x)=\ln(1+(\cos \,x-1))=(\cos \,x-1)-{\frac {1}{2}}(\cos \,x-1)^{2}+{\frac {1}{3}}(\cos \,x-1)^{3}+O((\cos \,x-1)^{4})={\Bigl (}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+O(x^{8}){\Bigr )}-{\frac {1}{2}}{\Bigl (}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}+O(x^{6}){\Bigr )}^{2}+{\frac {1}{3}}{\Bigl (}-{\frac {x^{2}}{2}}+O(x^{4}){\Bigr )}^{3}+O(x^{8})=}$

${\displaystyle =-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}-{\frac {x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{48}}-{\frac {x^{6}}{24}}+O(x^{8})=-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{12}}-{\frac {x^{6}}{45}}+O(x^{8})}$.

Na závěr si můžeme všimnout, že koeficienty u ${\displaystyle x,x^{3},x^{5},x^{7},\cdot \cdot \cdot }$ jsou nulové, což odpovídá tomu, že kosinus je sudá funkce.

Chceme spočítat Taylorův polynom funkce ${\displaystyle g(x)={\frac {e^{x}}{\cos \,x}}}$ v bodě 0.

Máme známé Taylorovy polynomy: ${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+O(x^{4})}$ a ${\displaystyle \cos \,x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+O(x^{4})}$. K řešení použijeme metodu neurčitých koeficientů.

Předpokládejme, že platí ${\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos \,x}}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdot \cdot \cdot }$ Vynásobíme obě strany rovnice jmenovatelem

${\displaystyle e^{x}=(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4})\cos \,x=(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}){\Bigl (}1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+O(x^{4}){\Bigr )}=c_{0}-{\frac {c_{0}}{2}}x^{2}+{\frac {c_{0}}{4!}}x^{4}+c_{1}x-{\frac {c_{1}}{2}}x^{3}+{\frac {c_{1}}{4!}}x^{5}+c_{2}x^{2}-{\frac {c_{2}}{2}}x^{4}+{\frac {c_{2}}{4!}}x^{6}+c_{3}x^{3}-{\frac {c_{3}}{2}}x^{5}+{\frac {c_{3}}{4!}}x^{7}+O(x^{4})}$

Dáme k sobě koeficienty u stejných mocnin

${\displaystyle =c_{0}+c_{1}x+{\Bigl (}c_{2}-{\frac {c_{0}}{2}}{\Bigr )}x^{2}+{\Bigl (}c_{3}-{\frac {c_{1}}{2}}{\Bigr )}x^{3}+{\Bigl (}c_{4}-{\frac {c_{2}}{2}}+{\frac {c_{0}}{4!}}{\Bigr )}x^{4}+O(x^{4})}$

Porovnáním s koeficienty Taylorova polynomu exponenciální funkce dostáváme řešení

${\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos \,x}}=1+x+x^{2}+{\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {x^{4}}{2}}+O(x^{4})}$

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Taylor series na anglické Wikipedii.

• Laurentova řada
• Řada
• Derivace

• Rektorys Karel a kol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5
• Tkadlec Josef: Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné. Nakladatelství ČVUT, Praha 2004, 1. vydání. ISBN 80-01-03039-3
• Krbálek Milan: Matematická analýza III. Nakladatelství ČVUT, Praha 2008, 2. vydání.

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Taylorova řada na Wikimedia Commons
• Ukázka aproximace kosinu - graf
• Taylorův polynom - názorné vysvětlení