Spinová síť

Spinová síť, tak jak je popsána Penrosem je druh diagramu v němž každý lineární segment představuje světočáru jednotky (buď elementární částici nebo složený systém částic). Tři úsečky se připojují ke každému vrcholu. Vrchol může být interpretován jako událost, ve které se buď jeden celek dělí na dvě jednotky nebo se naopak dvě jednotky srazí a spojí do jednoho celku. Diagramy jejichž lineární segmenty jsou spojeny ve vrcholech se nazývají uzavřené spinové sítě. Čas může být považován za ubíhající v jednom směru, například ze spodní části diagramu do horní, ale u uzavřených spinových sítí nemá směr chodu času vliv na výpočty.

Každý lineární segment je označen celým číslem zvaným spinové číslo. Jednotka se spinovým číslem n se nazývá n-jednotka a má moment hybnosti nħ/2, kde ħ je redukovaná Planckova konstanta. Pro bosony, jako fotony a gluony, je n celé číslo. Pro fermiony, jako elektrony a kvarky, je n liché.

Pro každou uzavřenou spinovou síť lze vypočítat nezáporné celé číslo, které se nazývá norma spinové sítě. Normy mohou být použity pro výpočet pravděpodobnosti různých hodnot spinu. Síť, jejích normou je nula, má nulovou pravděpodobnost výskytu. Pravidla pro výpočet normy a pravděpodobnosti jdou nad rámec tohoto článku. Nicméně, implikují, že pro spinové sítě, které mají nenulovou formu musí být splněny dvě podmínky u každého vrcholu. Předpokládejme, že vrchol spojuje tři jednotky se spinovými čísly a, b, a c. Potom jsou tyto podmínky uvedeny jako:

• Trojúhelníková nerovnost: a musí být menší nebo rovno b + c, b menší nebo rovno a + c, a c menší nebo rovno a + b.
• Zachování fermionů: a + b + c musí být sudé číslo.

Například, a = 3, b = 4, c = 6 je nemožné, protože 3 + 4 + 6 = 13 je liché, a a = 3, b = 4, c = 9 je nemožné protože 3 + 4 < 9. Nicméně, a = 3, b = 4, c = 5 je možné protože 3 + 4 + 5 = 12 je sudé a je splněna i trojúhelníková nerovnost. Někdy se používá poločíselné značení, s podmínkou že a + b + c musí být celé číslo.

Formálněji je spinová síť graf, jehož hrany jsou spojeny s neredukovatelnými reprezentacemi kompaktní Lieovy grupy a její vrcholy jsou spojeny s propletením hran k nim přiléhajících.

Ve smyčkové kvantové gravitaci představuje spinová síť kvantový stav gravitačního pole tří dimenzionálního hyperpovrchu. Množina všech možných spinových sítí (přesněji s-uzlů, což je ekvivalence tříd spinových sítí pod difeomorfizmem je počitatelná, to představuje základ Hilbertova prostoru smyčkové kvantové gravitace.

Jedním z klíčových výsledků smyčkové kvantové gravitace je kvantování ploch. Pozorovatel z plochy A dvojdimenzionálního povrchu Σ by měl mít diskrétní spektrum. Každá spinová síť je vlastní stav každého takového pozorovatele a vlastní hodnota se rovná

${\displaystyle A_{\Sigma }=8\pi \ell _{\text{PL}}^{2}\gamma \sum _{i}{\sqrt {j_{i}(j_{i}+1)}}}$

kde součet přejde přes všechny průsečíky i z Σ se spinovou sítí. V tomto vzorci,

• _PL je Planckova délka
• γ je Immirziho parametr a
• j_i = 0, 1/2, 1, 3/2, ... je spin spojený s členem i spinové sítě. Dvourozměrná plocha je proto koncentrovaná v průsečících se spinovou sítí.

Podle tohoto vzorce, nejnižší možné nenulová vlastní hodnota operátoru oblasti odpovídá propojení, které nese reprezentaci spinu 1/2. Za předpokladu, že je Immirziho parametr řádu jedna, dostáváme nejmenší možnou měřitelnou plochu ~10⁻⁶⁶ cm².

Vzorec pro vlastní hodnoty plochy se stává poněkud složitějším, pokud se povrch propojí uzly. Zatím ovšem není jasné, zda tyto případy mají fyzikální smysl.

Kvantování se vztahuje na operátor objemu. Podobně objem 3D podpotrubí obsahující části spinové sítě je dán součtem příspěvků každého uzlu uvnitř. Každý uzel je elementární kvantový objem a každé propojení je elementární kvantová plocha obklopující tento objem.

Podobné konstrukce mohou být použity pro obecné kalibrační teorie s kompaktními Lieovými grupami.

Michael Levin a Xiao-Gang Wen také definovali strunovou síť pomocí tenzorových kategorií. Přesné spojení se spinovými sítěmi zatím není známo.