Rovnice kontinuity

Rovnici kontinuity lze zapsat v obecném diferenciálním tvaru: ${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot \mathbf {j} =s}$  , kde

• ${\displaystyle \rho \,}$ je prostorová hustota zachovávající se veličiny,
• ${\displaystyle {\partial \over \partial t}\,}$ je derivace podle času
• ${\displaystyle \mathbf {j} \,}$ je veličina vyjadřující hustotu toku (množství prošlé za jednotku času jednotkovou plochou kolmou ke směru průchodu) zachovávající se veličiny (je-li zachovávající se veličina skalární, je její tok vektor)
• ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} \,}$ je divergence této hustoty toku
• ${\displaystyle s\,}$ je zdrojový člen, vyjadřující rychlost přibývání zachovávající se veličiny v jednotce objemu procesy jiné fyzikální podstaty nebo ze zdrojů mimo studovaný systém.

V relativistické fyzice se pak levá strana zápisu zjednoduší na (čtyř)divergenci čtyřvektoru (nebo čtyřtenzoru vyššího řádu, není-li zachovávající se veličina skalár):
${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=S}$, kde

• ${\displaystyle J^{\mu }\,}$ je čtyřvektor (${\displaystyle \scriptstyle \mu =0,1,2,3}$) odpovídající hustotě toku zachovávající se veličiny,
• ${\displaystyle S\,}$ je relativistická obdoba zdrojového členu ${\displaystyle s\,}$ (složky relativistického čtyřvektoru hustoty toku a relativistický zdrojový člen se od "nerelativistických" obdob mohou lišit konstantou, zpravidla mocninou rychlosti světla ve vakuu).

Následující tabulka uvádí stručný přehled tvarů rovnice kontinuity v různých aplikacích.

Zachovávající se veličina	Běžný tvar rovnice kontinuity
hmotnost tekutiny:	${\displaystyle \nabla \cdot \left(\rho _{\mathrm {tek.} }\mathbf {v} \right)+{\partial \rho _{\mathrm {tek.} } \over \partial t}=0}$
hybnost tekutiny:	${\displaystyle \nabla \cdot (\rho _{\mathrm {tek.} }v_{i}\mathbf {v} )+{\frac {\partial }{\partial t}}(\rho _{\mathrm {tek.} }v_{i})+F_{i}=0}$
elektrický náboj:	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} +{\partial \rho _{\mathrm {el.} } \over \partial t}=0}$
nebo v zápise pro čtyřproud:	${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=\partial _{\mu }{\left(\rho _{0}U^{\mu }\right)}=0}$
energie elektromagnetického pole:	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} +{\partial u \over \partial t}+{\frac {\mathbf {j} \cdot \mathbf {j} }{\sigma }}=\mathbf {E} \cdot \mathbf {j} }$
hybnost elektromagnetického pole:	${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}+\mathrm {div} \,{\boldsymbol {\sigma }}=-\mathbf {f} ,}$
pravděpodobnost výskytu částice:	${\displaystyle {\frac {\hbar }{2mi}}\nabla \cdot \left(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*}\right)+{\partial {|\psi |^{2}} \over \partial t}=0}$

Zde ${\displaystyle \rho _{el}}$ značí hustotu elektrického náboje, ${\displaystyle \rho _{tek.}}$ hustotu tekutiny, ${\displaystyle \mathbf {j} }$ plošnou hustotu elektrického proudu, ${\displaystyle u=(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} )/2}$ hustotu energie elektromagnetického pole, ${\displaystyle \mathbf {S} }$ Poyntingův vektor, ${\displaystyle \mathbf {f} }$ hustota síly, ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ Maxwellův tenzor a ${\displaystyle \psi }$ vlnovou funkci, která vyjadřuje hustotu amplitudy pravděpodobnosti.

Rovnici kontinuity lze jednoduše odvodit pomocí Gaussovy věty. Předpokládáme, že se daná veličina (v našem případě uvažujme např. elektrický náboj) zachovává, tedy v daném objemu platí

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\Omega }\rho \ \mathrm {d} V=-\oint _{\partial \Omega }\mathbf {j} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,}$

tedy že časová změna celkového náboje v objemu ${\displaystyle \Omega }$ je rovna vytečenému (proto znaménko minus) elektrickému proudu přes plochu objemu ${\displaystyle \Omega }$ značeného ${\displaystyle \partial \Omega }$. Ten odpovídá integrálu na pravé straně rovnice.

Nyní aplikujeme na plošný integrál na pravé straně rovnice Gaussovu větu

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\Omega }\rho \ \mathrm {d} V=-\int _{\Omega }\nabla \cdot \mathbf {j} \ \mathrm {d} {V}.}$

V dalším kroku uvážíme, že za předpokladu, že se oblast ${\displaystyle \Omega }$ nemění, lze prohodit totální časovou derivaci s integrálem a obdržet

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}=\int _{\Omega }{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\mathrm {d} V=-\int _{\Omega }\nabla \cdot \mathbf {j} \ \mathrm {d} {V}\implies \int _{\Omega }\left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} \right)\mathrm {d} V=0.}$

Protože tento vztah musí platit pro každou uvažovanou oblast ${\displaystyle \Omega }$, může být rovnice splněna jen tehdy, vynuluje-li se vnitřek objemového integrálu, tedy

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0.}$

Uvažujeme-li reálný potenciál ${\displaystyle V}$ a hamiltonián tvaru ${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar }{2m}}\Delta +V}$ pak časová Shcrödingerová rovnice a k ní komplexně sdružená mají tvar:

${\displaystyle {\begin{aligned}&-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi +V\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}},\\&-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi ^{*}+V\psi ^{*}=-i\hbar {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}.\\\end{aligned}}}$

Vynásobením první rovnice ${\displaystyle \psi ^{*}}$ a druhou rovnici ${\displaystyle \psi }$ dostáváme:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}\left(-{\frac {\hbar ^{2}\psi ^{*}}{2m}}\Delta \psi +V\psi ^{*}\psi \right),\\&\psi {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\left(-{\frac {\hbar ^{2}\psi }{2m}}\Delta \psi ^{*}+V\psi \psi ^{*}\right).\\\end{aligned}}}$

Dále zavedeme hustotu pravděpodobnosti ${\displaystyle \rho =\vert \psi \vert ^{2}}$. Časová derivace hustoty pravděpodobnosti je rovna

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial |\psi |^{2}}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left(\psi ^{*}\psi \right)=\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\psi {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}.}$

Dosazením do této rovnice se potenciál odečte a získáme tvar:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\psi ^{*}\Delta \psi -\psi \Delta \psi ^{*}\right)}$

Rovnici kontinuity pak můžeme zapsat pomocí hustoty toku pravděpodobnosti ${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*}\right)}$ ve tvaru:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\textrm {div}}\left({\frac {\hbar }{2mi}}\left(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*}\right)\right)=0.}$

Rovnice kontinuity je rovnice, která platí pro ustálené proudění ideální kapaliny v uzavřené trubici a popisuje vztah mezi rychlostí proudění v a obsahem průřezu S v jednom místě trubice:

${\displaystyle Q_{V}=Sv={\mbox{konst.}}\,}$

Z rovnice kontinuity plyne:

${\displaystyle {\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {S_{2}}{S_{1}}}}$,

neboli poměr rychlostí v₁ a v₂ proudění ve dvou místech je převrácený k poměru obsahů průřezů S₁ a S₂ trubice v těchto místech. Čím užší trubice, tím rychlejší proudění.

Platnost rovnice kontinuity vychází ze stejného průtoku ve všech místech trubice (za podmínky ustáleného proudění, tj. neměnného v čase) a vyjadřuje tak zákon zachování objemu kapaliny.

Tyto vztahy lze zobecnit pro (stlačitelné) tekutiny, např. plyny. U stlačitelné tekutiny se obecně mění hustota, a proto se nezachovává průtok, ale hmotnostní tok.

Rovnici kontinuity lze pak zapsat jako

${\displaystyle Q_{m}=Q_{V}\rho =Sv\rho ={\mbox{konst}}\,}$,

což znamená, že při ustáleném proudění tekutiny je hmotnostní tok v libovolném průřezu proudové trubice konstantní. Zde rovnice vyjadřuje zákon zachování hmotnosti.

• ŠTOLL, Ivan; SEDLÁK, Bedřich. Elektřina a magnetismus. Praha: Karolinum, 2013. ISBN 978-80-246-2198-2.

• SKÁLA, Lubomír. Úvod do kvantové mechaniky. Praha: Karolinum, 2012. ISBN 978-80-246-2022-0.

• RICHTEREK, Lukáš. Teorie relativity a astronomie : studijní modul. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2013. ISBN 978-80-244-3335-6.

• JEX, Igor; ŠTOLL, Ivan; TOLAR, Jiří. Klasická teoretická fyzika. Praha: Karolinum, 2017. ISBN 978-80-246-3545-3.

• SVOBODA, Emanuel. Přehled středoškolské fyziky. Praha: Prometheus, 2005. ISBN 80-7196-116-7.

• Mechanika
• Mechanika tekutin
• Bernoulliho rovnice