Gaussova věta
Gaussova věta, nebo též Gaussova-Ostrogradského věta či Věta o divergenci je věta matematické analýzy, která uvádí v souvislost tok vektorového pole A(r) uzavřenou jednoduše souvislou hladkou plochou Σ s integrálem přes objem V touto plochou uzavřený z divergence daného vektorového pole.
- ,
kde je divergence vektorového pole A(r), ∇ je operátor nabla a plocha Σ = ∂V je hranice kompaktní množiny V, která je orientována vektorem vnější normály, tzn. a n je vektor vnější normály plochy, a je regulární a otevřená.
Z fyzikálního hlediska vyjadřuje Gaussova věta skutečnost, že tok vektoru A uzavřenou plochou je roven objemovému integrálu z divergence vektoru A.
Pro skalární veličinu f lze zavést její tok uzavřenou plochou S vztahem
Pro tenzorovou veličinu využijeme toho, že po kontrakci je tenzorem prvního řádu. Gaussovu větu pro tenzorovou veličinu pak můžeme vyjádřit jako
Kromě uvedených vztahů platí pro vektor A také vztah
G-O věta ve 3D
kde je vnější normála na povrch S prostoru o objemu V.
Jinými slovy
Tok přes hranici A prostoru je roven součtu zřídel a propadů v tomto prostoru.
Externí odkazy
- Obrázky, zvuky či videa k tématu Gaussova věta na Wikimedia Commons