Riemannova funkce
Riemannova funkce je v matematice reálná funkce jedné reálné proměnné, definovaná na celé množině reálných čísel, v jejímž funkčním předpisu je znát záměr demonstrovat vlastnosti rozložení racionálních a iracionálních čísel v reálné množině.
Riemannovu funkci lze považovat za rozšíření Dirichletovy funkce.
Definice a graf
Riemannova funkce se označuje a je definována následovně:
Graf Riemannovy funkce nelze žádným způsobem nakreslit, ani si ho představit. To, zejména v 19. století, vedlo mnohé matematiky k pochybám, zda Riemannova funkce je regulérní funkcí, či konstruktem, který nepatří do matematiky. Dnes již matematika zcela bez námitek uznává i funkce mnohem podivnější.
Vlastnosti
Riemannova funkce má následující vlastnosti:
- Není spojitá v žádném racionálním bodě.
- Je spojitá v každém iracionálním bodě.
- Pro každé iracionální číslo platí .
- Není monotónní na žádném intervalu ani v žádném bodě.
- Nabývá ostrého lokálního maxima v každém racionálním bodě a neostrého globálního minima v každém iracionálním bodě.
- Lebesgueův integrál přes celý definiční obor je roven .
- Newtonův integrál neexistuje.
Související články
Externí odkazy
- Obrázky, zvuky či videa k tématu Riemannova funkce na Wikimedia Commons
Portály: Matematika
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.