Predikátová logika prvního řádu

Na rozdíl od přirozených jazyků, jako Čeština, je jazyk predikátové logiky prvního řádu zcela formální, tedy můžeme zcela mechanicky určit, zda je daný výraz legálně utvořen. Rozlišujeme dva základní druhy výrazů: termy, které intuitivně představují objekty, a formule, jež zahrnují predikáty a mohou být pravdivé nebo nepravdivé. Termy a formule predikátové logiky jsou řetězce symbolů, jež společně tvoří abecedu jazyka. Stejně jako u všech formálních jazyků, je povaha těchto symbolů mimo záběr formální logiky. Často jsou brány jednoduše jako písmena a interpunkční znaménka.

Běžně rozlišujeme symboly abecedy na logické symboly, které mají vždy tentýž význam, a mimo-logické symboly, jejichž význam se liší dle interpretace. Např., logický symbol ${\displaystyle \land }$ vždy reprezentuje "a" ("a zároveň"); nikdy není interpretován jako "nebo" (či jako jiná spojka). Na druhou stranu, mimo-logický predikátový symbol P(x) můžeme interpretovat tak, že x je filozof, x je osoba, nebo jako jiný unární predikát závisející na konkrétní interpretaci.

Máme několik logických symbolů patřících do abecedy, které se mohou lišit autor od autora, ale obvykle mezi ně patří:

• Kvantifikační symboly ${\displaystyle \forall }$ a ${\displaystyle \exists }$

• Logické spojky: ${\displaystyle \land }$ pro konjunkci, ${\displaystyle \lor }$ pro disjunkci, ${\displaystyle \rightarrow }$ pro implikaci, ${\displaystyle \leftrightarrow }$ pro ekvivalenci, ${\displaystyle \lnot }$ pro negaci. Výjimečně se zařazují další logické spojky. Mnozí autoři používají ${\displaystyle \Rightarrow }$, nebo Cpq, namísto ${\displaystyle \rightarrow }$, a ${\displaystyle \Leftrightarrow }$, či Epq, místo ${\displaystyle \leftrightarrow }$, obzvláště v kontextu, kdy ${\displaystyle \to }$ je použita k jiným účelům. Dále, ${\displaystyle \supset }$ může nahradit ${\displaystyle \rightarrow }$; místo ${\displaystyle \leftrightarrow }$ lze použít ${\displaystyle \equiv }$, a tilda (~), Np, nebo Fpq, mohou nahradit ${\displaystyle \lnot }$; ||, či Apq zase ${\displaystyle \lor }$; a &, nebo Kpq, mohou být použity místo ${\displaystyle \land }$, zejména pokud tyto symboly nemohou být použity z různých technických důvodů.

• Různé druhy závorek a jiná interpunkční znaménka. Volba těchto symbolů se liší dle kontextu.

• Nekonečná množina proměnných, často označovaných malými písmeny z konce abecedy x, y, z, etc. . Lze také použít dolní index k rozlišení proměnných: x₀, x₁, x₂, …

• Symbol rovnosti =

Stojí za poznamenání, že ne všechny výše zmíněné symboly jsou nezbytné. Postačují: pouze jeden z kvantifikátorů (obvykle univerzální), negace a konjunkce, proměnné, závorky a symbol rovnosti. V neposlední řadě, lze definovat ještě další drobné variace:

• Mnohdy zavádíme pravdivostní konstanty: T, Vpq, nebo ${\displaystyle \top }$, pro "pravdu" (tautologii) a F, Opq, nebo ${\displaystyle \bot }$, pro "nepravdu" (kontradikci). Bez takovýchto logických operátorů nulové arity můžeme tyto dvě konstanty vyjádřit pouze za pomoci kvantifikátorů.

• Někdy přidáváme další logické spojky, jako např. Shefferova funkce, Dpq (NAND), nebo exkluzivní disjunkce, Jpq.

Mimo-logické symboly představují predikáty (relace), funkce a konstanty představené v rámci univerza. Standardní praxí bylo používat fixní, nekonečnou množinu mimologických symbolů pro všechny účely. V současnosti používáme různé mimo-logické symboly podle zamýšlené aplikace. Proto začalo být nutné pojmenovat množinu všech mimo-logických symbolů použitou pro konkrétní aplikaci. Tuto volbu zprostředkovává tzv. signatura.[2]

V tradičním přístupu máme pouze jednu nekonečnou množinu mimo-logických symbolů (jednu signaturu) pro všechny aplikace. V důsledku to znamená, že existuje pouze jeden jazyk predikátové logiky prvního řádu. [3] Tento přístup se stále objevuje, zejména ve filosoficky orientovaných knihách.

1. Pro každé přirozené číslo n ≥ 0 existuje posloupnost n-árních predikátových symbolů. Jelikož predikáty představují relace mezi n elementy, říká se jim také relační symboly. Pro každou aritu n jich máme nekonečnou zásobu:

   Pⁿ₀, Pⁿ₁, Pⁿ₂, Pⁿ₃, …

2. Pro každé přirozené číslo n ≥ 0 existuje nekonečně mnoho n-árních funkčních symbolů:

   f ⁿ₀, f ⁿ₁, f ⁿ₂, f ⁿ₃, …

V současné matematické logice se signatura liší dle aplikace. Typické signatury jsou {1, ×} nebo pouze {×} pro grupy, či {0, 1, +, ×, <} pro uspořádaná tělesa. Na počet mimo-logických symbolů nejsou kladena žádná omezení. Signaturou může být prázdná, konečná nebo nekonečná, dokonce nespočetná množina. Nespočetné signatury se objevují např. jako součást moderních důkazů Löwenheim-Skolemovy věty.

V moderním přístupu je každý mimo-logický symbol jedním z následujících typů.

1. Predikátový symbol (relační symbol) s určitou valencí (tj. aritou, počtem argumentů) větší nebo rovnou 0. Obvykle je značíme velkými písmeny P, Q, R,...
   • Relace s valencí 0 mohou značit výrokové proměnné. Například P může reprezentovat libovolný výrok.
   • Například P(x) je predikát s valencí 1. Jednou možnou interpretací je: "x je muž".
   • Q(x,y) je predikát s valencí 2. Možné interpretace zahrnují: "x je větší než y" a "x je otec y".
2. Funkční symbol s určitou valencí větší nebo rovnou 0. Funkční symboly často značíme malými písmeny f, g, h,... .
   • Příklady: f(x) může být interpretováno jako "otec x". V aritmetice může představovat "-x". V teorii množin může reprezentovat "potenční množinu množiny x". V aritmetice g(x,y) může korespondovat s "x+y". V teorii množin zase "sjednocení x a y".
   • Funkční symboly valence 0 se nazývají konstantní symboly a často je píšeme malými písmeny ze začátku abecedy a, b, c,... . Symbol a může představovat Sókrata. V aritmetice si lze představit jako 0. V teorii množin zase jako prázdnou množinu.

Z tradičního přístupu se jde jednoduše přesunout do moderního, pokud specifikujeme signaturu, která se bude skládat z tradičních sekvencí mimologických symbolů.

Pravidla tvorby definují termy a formule pro predikátovou logiku prvního řádu. Pokud jsou termy a formule reprezentovány řetězci symbolů, mohou být tato pravidla použita k sepsání formální gramatiky pro termy a formule. Pravidla jsou obecně bezkontextová gramatika, s výjimkou toho, že množina symbolů může být nekonečná a startovacích symbolů může být mnoho.

Množina termů je induktivně definována pomocí následujících pravidel:

1. Proměnné. Jakákoli proměnná je term.
2. Funkce. Jakýkoli výraz f(t₁,...,t_n) s n argumenty (kde každý argument t_i je term a f je funkční symbol arity n) je term. Speciálně, symboly reprezentující jednotlivé konstanty jsou 0-ární funkční symboly, a jsou tedy termy.
3. Pouze výrazy vytvořené konečně mnoha aplikacemi pravidel 1 a 2 jsou termy. Např. žádný výraz obsahující predikátový symbol není term.

Množina formulí (známá také jako dobře utvořené formule[4]) je rekursivně definována následujícími pravidly:

1. Predikátové symboly. Pokud P je n-ární predikátový symbol t₁, ..., t_n jsou termy, pak P(t₁,...,t_n) je formule.
2. Symbol rovnosti. Jestliže je symbol rovnosti součástí logiky a t₁ a t₂ jsou termy, pak t₁ = t₂ je formule.
3. Negace. Pokud φ je formule, pak ${\displaystyle \neg }$φ je také formule.
4. Binární spojky. Pokud φ a ψ jsou formule, pak (φ ${\displaystyle \rightarrow }$ ψ) je také formule. Analogicky definujeme pro ostatní binární spojky.
5. Kvantifikátory. Pokud φ je formule a x je proměnná, pak ${\displaystyle \forall x\varphi }$ a ${\displaystyle \exists x\varphi }$ jsou formule.
6. Pouze výrazy získané konečně mnoha aplikacemi pravidel 1–5 jsou formule. Formulím sestavených za pomocí prvních dvou pravidel říkáme atomické formule.

Například,

${\displaystyle \forall x\forall y(P(f(x))\rightarrow \neg (P(x)\rightarrow Q(f(y),x,z)))}$

je formule, jestliže f je unární funkční symbol, P je unární predikátový symbol a Q je ternární predikátový symbol. Naopak, ${\displaystyle \forall x\,x\rightarrow }$ není formule, ačkoli se jedná o řetězec znaků patřících do abecedy.

Rolí závorek v definici je zajistit, aby jakákoli formule mohla být utvořena jedním způsobem, a to dle rekurzivní definice (jinak řečeno, existuje jedinečný derivační strom pro každou formuli). Tato vlastnost se nazývá jedinečná čitelnost (anglicky unique readability) formulí. Máme mnoho konvencí pro to, kde a jak používat závorky ve formulích. Například, někteří autoři používají dvojtečky nebo tečky namísto závorek, jindy se mění umístění závorek. Každý autor by měl v rámci své konvence ověřit, že jeho řešení dostává čitelnosti.

Definice formule představená výše nedovoluje definování jestliže-pak-jinak (if-then-else) funkce ite(c,a,b), kde "c" je podmínka vyjádřená jako formule, jež by navracela "a", pokud by c bylo pravdivé a "b", jestliže je nepravdivé. Tento nedostatek je důsledek faktu, že predikáty a funkce mohou přijímat pouze termy jako parametry (’’ite’’ funkce má jako první parametr formuli). Některé jazyky stavějící na predikátové logice prvního řádu, např. SMT-LIB 2.0, toto dovolují.[5]

Kvůli pohodlnosti se zavedlo mnoho konvencí zabývajících se prioritou logických operátorů, převážně za účelem vyhnutí se psaní závorek. Tato pravidla se podobají prioritě početních operací v aritmetice. Běžnou konvencí je:

• ${\displaystyle \lnot }$ se vyhodnocuje jako první
• ${\displaystyle \land }$ a ${\displaystyle \lor }$ jsou vyhodnoceny následně
• Kvantifikátory následují ve vyhodnocení
• ${\displaystyle \to }$ je vyhodnocena jako poslední.

Navíc, lze přidat extra interpunkci, která není definicí vyžadována, aby byla formule čitelnější. Tedy formule

${\displaystyle (\lnot \forall xP(x)\to \exists x\lnot P(x))}$

může být přepsána na

${\displaystyle (\lnot [\forall xP(x)])\to \exists x[\lnot P(x)].}$

V některých oborech je běžné používat infixovou notaci pro binární relace a funkce namísto prefixové notace (použité v definici výše). Například v aritmetice typicky píšeme "2 + 2 = 4" místo "=(+(2,2),4)". Je zvykem považovat formule zapsané v infixové notaci za zkratky pro odpovídající formule v prefixové notaci.

Výše představené definice používají infixovou notaci pro binární spojky, jako je ${\displaystyle \to }$. Méně používanou konvencí je tzv. Polská notace, ve které píšeme ${\displaystyle \rightarrow }$, ${\displaystyle \wedge }$, atd. před jejich argumenty namísto mezi. Tato notace nám dovoluje odprostit se od veškeré interpunkce. Polská notace je kompaktní a elegantní, ale zřídka používaná v praxi, protože je obtížná ke čtení. V Polské notaci přepíšeme formuli

${\displaystyle \forall x\forall y(P(f(x))\rightarrow \neg (P(x)\rightarrow Q(f(y),x,z)))}$

na "∀x∀y→Pfx¬→ PxQfyxz".

Formule mohou obsahovat buď volné nebo vázané proměnné. Intuitivně, proměnnou nazveme volnou, pokud není kvantifikována: ve ${\displaystyle \forall y\,P(x,y)}$, je proměnná x volnou, zatímco y je vázaná. Volné a vázané proměnné formule jsou definovány následovně:

1. Atomické formule: Pokud φ je atomická formule, pak x je volná proměnná φ právě tehdy, když se x vyskytuje ve φ. Dále nejsou žádné vázané proměnné v atomických formulích.
2. Negace: x je volná proměnná ve ${\displaystyle \neg }$φ právě tehdy, když x je volná ve φ. x je vázaná ve ${\displaystyle \neg }$φ právě tehdy, když x je vázaná ve φ.
3. Binární spojky: x je volná proměnná ve (φ ${\displaystyle \rightarrow }$ ψ) právě tehdy, když x je volná buď ve φ nebo ψ. x je vázaná ve (φ ${\displaystyle \rightarrow }$ ψ) právě tehdy, když x je vázaná buď ve φ nebo ψ. Stejné pravidlo uplatníme v případě jiných binárních spojek na místě ${\displaystyle \rightarrow }$.
4. Kvantifikátory: x je volná proměnná ve ${\displaystyle \forall }$y φ právě tehdy, když x je volná ve φ a x je rozdílný symbol od y. Dále, x je vázaná ve ${\displaystyle \forall }$y φ právě tehdy, když x je y nebo x je vázaná ve φ. Stejné pravidlo platí pro ${\displaystyle \exists }$ na místě ${\displaystyle \forall }$.

Například ve ${\displaystyle \forall }$x ${\displaystyle \forall }$y (P(x)${\displaystyle \rightarrow }$ Q(x,f(x),z)), x a y jsou vázané proměnné, z je volná proměnná a w není ani volná ani vázaná, neboť se ve formuli nevyskytuje.

Volnost a vázanost lze také specializovat na specifický výskyt proměnných ve formuli. Například ve ${\displaystyle P(x)\rightarrow \forall x\,Q(x)}$, je první výskyt x volný, kdežto druhý vázaný. Řečeno jinak, x v ${\displaystyle P(x)}$ je volná proměnná, zatímco ${\displaystyle x}$ v ${\displaystyle \forall x\,Q(x)}$ je vázaná.

Formule predikátové logiky prvního řádu bez volných proměnných se nazývá sentence prvního řádu. Sentence jsou tedy formule, které budou mít dobře definované pravdivostní hodnoty v rámci určité interpretace. Aby byla nějaká formule, např. P(x), pravdivá, musí záviset na tom, jaký objekt x reprezentuje. Zato sentence ${\displaystyle \exists x\,{\text{P}}(x)}$ bude pravdivá nebo nepravdivá v závislosti na dané interpretaci.

V matematice obsahuje jazyk uspořádané abelovy grupy jeden konstantní symbol 0, jeden unární funkční symbol −, jeden binární funkční symbol +, a jeden binární relační symbol ≤. Pak:

• Výrazy +(x, y) a +(x, +(y, −(z))) jsou termy.

Obvykle se zapisují jako ‘’x + y’’ a ‘’x + y − z’’.

• Výrazy +(x, y) = 0 a ≤(+(x, +(y, −(z))), +(x, y)) jsou atomické formule.

Obvyklý zápis je ‘’x + y = 0’’ a x + y − z ≤ x + y.

• Výraz ${\displaystyle (\forall x\forall y\,\mathop {\leq } (\mathop {+} (x,y),z)\to \forall x\,\forall y\,\mathop {+} (x,y)=0)}$ je formule, která se obvykle zapisuje následovně: ${\displaystyle \forall x\forall y(x+y\leq z)\to \forall x\forall y(x+y=0).}$