Jazyk (logika)

Logické symboly jazyka jsou:

• spočetně mnoho symbolů pro proměnné: ${\displaystyle v_{0},v_{1},\ldots }$ (V matematické praxi se obvykle proměnné značí písmeny ${\displaystyle x,y,z,\ldots }$, vždy to však lze chápat tak, že tato písmena jsou ve skutečnosti nějaká ${\displaystyle \,v_{i}}$.)
• symboly pro logické spojky: ${\displaystyle \neg }$, ${\displaystyle \Rightarrow }$ (případně ještě ${\displaystyle \vee }$, ${\displaystyle \land }$, ${\displaystyle \Leftrightarrow }$, tyto symboly však lze zavést také definicí)
• symboly pro kvantifikátory: ${\displaystyle \forall }$ (případně ${\displaystyle \exists }$, který lze zavést definicí)
• symbol pro rovnost: ${\displaystyle \,=}$ (pokud jde o jazyk logiky s rovností)
• pomocné symboly - závorky: ${\displaystyle (}$ a ${\displaystyle )}$, popřípadě i další.

Mimologické symboly jazyka mohou být libovolné symboly různé od symbolů logických a také vzájemně po dvou různé. Může jich být libovolně (i nekonečně) mnoho. Ke každému mimologickému symbolu je zároveň přiřazen jeho druh a četnost (arita). Existují tři druhy mimologických symbolů:

• Konstantní symboly
• Funkční symboly
• Predikátové symboly

Signatura je funkce ${\displaystyle \,\sigma }$ definovaná na množině všech mimologických symbolů přiřazující každému mimologickému symbolu S přirozené číslo ${\displaystyle \,\sigma (S)}$ nazývané četnost (arita) symbolu S tak, že ${\displaystyle \sigma (c)=0}$ pro každý konstantní symbol c. Funkční resp. predikátový symbol četnosti n se také nazývá n-ární funkční resp. predikátový symbol.

Jazykem rozumíme trojici ${\displaystyle \langle LS,MLS,\sigma \rangle }$, kde LS jsou všechny logické symboly jazyka, MLS mimologické symboly a ${\displaystyle \,\sigma }$ signatura pro tyto mimologické symboly. Jazyk se obvykle zadává pouze vypsáním jeho mimologických symbolů a stanovením jejich četností, neboť logické symboly jsou společné pro všechny jazyky.