Existenční kvantifikátor

Znak ∃ pro existenční kvantifikátor vznikl převrácením písmena E z latinského existo a anglického Exists – existuje.

Řekněme, že chceme napsat matematickou formuli, která bude pravdivá právě tehdy, pokud nějaké přirozené číslo na druhou je rovno 25. Nejjednodušším přístupem by bylo napsat následující formuli:

0·0 = 25 nebo 1·1 = 25 nebo 2·2 = 25 nebo 3·3 = 25 atd.

Mohlo by se zdát, že toto je korektní formule výrokové logiky, protože jediná použitá spojka je "nebo". Ve výrokové logice bohužel není možno použít nekonečně mnoho spojek v jedné formuli a proto je potřeba zvolit jiný přístup, například rozšířit logiku tak, aby byla schopna vyjádřit následující formuli:

Pro nějaké přirozené číslo n platí n·n = 25.

Tato formule používá existenční kvantifikátor a přesněji vyjadřuje původní tvrzení, jelikož v původní formuli nebyl význam termínu atd. přesně zadefinován. Nebylo například zřejmé, že se má pokračovat pro všechna přirozená čísla. Oproti tomu druhá formule přímo specifikuje, že se jedná o přirozená čísla.

Formule "pro nějaké přirozené číslo n platí n·n = 25" je pravdivá, protože pokud nahradíme n číslem 5, dostaneme 5.5=25, což platí. Nezáleží na tom, zda pro ostatní n tvrzení platí (v tomto případě dokonce neplatí pro žádné číslo různé od 5). Stačí najít jedno jediné číslo.

Pokud změníme formuli na "Pro nějaké sudé číslo n platí n·n = 25", dostaneme nepravdivé tvrzení (nelze nalézt sudé číslo, kterým bychom n nahradili, a podmínka byla splněna). Na těchto dvou příkladech je vidět, že volba čísel, která můžeme použít, je důležitá a může změnit pravdivost tvrzení).

Formální zápis výše uvedených formulí je následující. Mějme predikát ${\displaystyle P(a,b,c)}$ vyjadřující ${\displaystyle a.b=c}$ a predikát ${\displaystyle Q(a)}$ vyjadřující "a je sudé". Potom se formule "pro nějaké přirozené číslo n platí n·n = 25" dá vyjádřit jako

${\displaystyle \exists {n}\in \mathbb {N} .\,P(n,n,25)}$

a formule „pro nějaké sudé číslo n platí n·n = 25“ jako

${\displaystyle \exists {n}\in \mathbb {N} .\,Q(n)\wedge P(n,n,25)}$

Fakt, že existuje a splňující tvrzení ${\displaystyle \phi }$ lze alternativně vyjádřit tak, že není pravda, že každé a nesplňuje ${\displaystyle \phi }$. Platí tedy

• ${\displaystyle \exists \equiv \neg \forall \neg }$
• ${\displaystyle \forall \equiv \neg \exists \neg }$

V matematických zápisech je někdy potřeba vyjádřit, že počet prvků, které danou formuli splňují, je přesně jedna, například "Existuje právě jedno přirozené číslo n, které splňuje n.n=25" je pravdivá formule, ale formule "Existuje právě jedno sudé číslo n, které splňuje n.n=25" a "Existuje právě jedno sudé číslo" pravdivé nejsou. Ve formálních zápisech se potom místo ${\displaystyle \exists {n}}$ používá ${\displaystyle \exists$ !{n}} .

Ve skutečnosti se ale ${\displaystyle \exists$ !} dá vyjádřit pomocí samotného ${\displaystyle \exists }$. Formule ${\displaystyle \exists !n\phi }$ totiž platí právě když platí ${\displaystyle \exists n(\phi \wedge \neg \exists k\,(k\not =n\wedge \phi '))}$ kde formule ${\displaystyle \phi '}$ vznikne z ${\displaystyle \phi }$ záměnou volných výskytů proměnné n za k.

Pro všechny formule ${\displaystyle \phi }$ platí, že jestliže ${\displaystyle \exists !n\,\phi }$, pak i ${\displaystyle \exists n\,\phi }$, naopak to ale platit nemusí.

Někdy je třeba vyjádřit, že existuje nekonečně mnoho prvků splňujících danou formuli. Například tvrzení "Existuje přirozené číslo n, které splňuje n < 17" je pravdivé tvrzení, zatímco "Existuje nekonečně mnoho přirozených čísel n takových, že n < 17" je nepravdivé.

Oproti tomu "Existuje nekonečně mnoho přirozených čísel n dělitelných pěti" je opět pravdivé tvrzení. V matematice se tento případ zapíše pomocí kvantifikátoru ${\displaystyle {\stackrel {\infty }{\exists }}}$, tedy pokud P(a) je predikát „a>8“, vyjadřuje ${\displaystyle {\stackrel {\infty }{\exists }}n\in \mathbb {N} \,P(n)}$ tvrzení „Existuje nekonečně mnoho přirozených čísel n takových, že n > 8“.

Pro všechny formule ${\displaystyle \phi }$ platí, že jestliže ${\displaystyle {\stackrel {\infty }{\exists }}n\,\phi }$, pak i ${\displaystyle \exists n\,\phi }$, naopak to ale platit nemusí. Na druhou stranu pro žádnou formuli ${\displaystyle \phi }$ nemůže zároveň platit ${\displaystyle {\stackrel {\infty }{\exists }}n\,\phi }$ a ${\displaystyle \exists !n\,\phi }$.

Kvantifikátor ${\displaystyle {\stackrel {\infty }{\exists }}}$ nelze obecně v predikátové logice vyjádřit, pokud ale jsou ale prvky, přes které kvantifikujeme, lineárně uspořádány, lze formuli ${\displaystyle {\stackrel {\infty }{\exists }}n\,\phi }$ zapsat jako ${\displaystyle \forall k\,\exists n\,(n>k\wedge \phi )}$.

• Kvantifikátor
• Kvantifikátor jednoznačné existence
• Univerzální kvantifikátor