Nashova rovnováha

Představme si, že hráči navzájem znají svoje strategie. Pak se každý hráč může zeptat sám sebe: "Pokud znám strategie ostatních a budu je brát za pevně dané, mohu změnou mé akce získat nějaký prospěch?". Pokud bude odpovědí "ano", pak takováto situace není Nashovou rovnováhou. Pokud ale všichni hráči odpoví "ne" pak je toto řešení stabilním a označujeme ho za Nashovu rovnováhu. Nashovu rovnováhu tedy můžeme označit jako nejlepší možnou reakci na strategie ostatních.[3]

Nechť (S, f) je hra s n hráči, kde S_i je množina možných akcí hráče i, S = S₁ X S₂ ... S_n jsou strategie všech hráčů a f = (f₁(x), ..., f_n(x)) je výplatní funkce. Nechť x_-i je výběr akcí všech hráčů vyjma hráče i. Každý hráč i ∈ {1, ..., n} si zvolí strategii x_i pak ve výsledné situaci x = (x₁, ..., x_n) přísluší hráči i výplatní funkce f_i(x). Situaci x^∗ ∈ S, kdy si žádný z hráčů nemůže jednostrannou změnou své akce zlepšit výsledek, tedy zvýšit hodnotu výplatní funkce, zapíšeme jako: ${\displaystyle \forall i,x_{i}\in S_{i},x_{i}\neq x_{i}^{*}:f_{i}(x_{i}^{*},x_{-i}^{*})\geq f_{i}(x_{i},x_{-i}^{*}).}$ Výsledek může ležet buď v ryzích strategiích (volba konkrétní akce) nebo strategiích smíšených (je přidán koeficient pravděpodobnosti využití jednotlivých akcí). Nash dokázal, že každá konečná hra má alespoň jedno rovnovážné řešení.

Pokud platí v předchozí nerovnici ostrá nerovnost (${\displaystyle >}$ namísto ${\displaystyle \geq }$) mluvíme o Silné Nashově rovnováze. V případě, že existuje rovnost mezi ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ a další akcí z množiny ${\displaystyle S}$ pak toto řešení označujeme jako Slabou Nashovu rovnováhu.

Mějme hru ${\displaystyle G=(N,A,u)}$, kde ${\displaystyle N}$ je počet hráčů a ${\displaystyle A=A_{1}\times \ldots \times A_{N}}$ je množina všech možných strategií všech hráčů. Množiny strategií ${\displaystyle A_{i}}$ všech hráčů jsou konečné. Nechť ${\displaystyle \Delta =\Delta _{1}\times \ldots \times \Delta _{N}}$ je množinou míšených strategií hráčů. Konečnost ${\displaystyle A_{i}}$ zaručuje kompaktnost množiny ${\displaystyle \Delta }$.

Nyní definujeme výplatní funkce. Pro smíšenou strategii ${\displaystyle \sigma \in \Delta }$ a při volbě akce ${\displaystyle a\in A_{i}}$ je ziskem hráče ${\displaystyle i}$

${\displaystyle Zisk_{i}(\sigma ,a)=\max\{0,u_{i}(a_{i},\sigma _{-i})-u_{i}(\sigma _{i},\sigma _{-i})\}.\ }$

pro ${\displaystyle \sigma \in \Delta ,a\in A_{i}}$. Z toho vyplývá, že

${\displaystyle \sum _{a\in A_{i}}g_{i}(\sigma )(a)=\sum _{a\in A_{i}}\sigma _{i}(a)+Zisk_{i}(\sigma ,a)=1+\sum _{a\in A_{i}}Zisk_{i}(\sigma ,a)>0.\ }$

Nyní použijeme ${\displaystyle g}$ pro definování ${\displaystyle f:\Delta \rightarrow \Delta }$. Nechť ${\displaystyle f_{i}(\sigma )(a)={\frac {g_{i}(\sigma )(a)}{\sum _{b\in A_{i}}g_{i}(\sigma )(b)}}}$ pro ${\displaystyle a\in A_{i}}$.

Nyní můžeme jasně vidět, že každé ${\displaystyle f_{i}}$ je platnou smíšenou strategií v ${\displaystyle \Delta _{i}}$. Také můžeme snadno ověřit, že každé ${\displaystyle f_{i}}$ je spojitou funkcí ${\displaystyle \sigma }$ a tedy i ${\displaystyle f}$ je spojitou funkcí. ${\displaystyle \Delta }$ je nyní vektorovým součinem konečného množství kompaktních konvexních množin a tedy i ${\displaystyle f}$ je kompaktní a konvexní. Nyní můžeme pro ${\displaystyle f}$ využít Brouwerovy věty o pevných bodech. Tedy ${\displaystyle f}$ má pevný bod v ${\displaystyle \Delta }$, nazvěme ho ${\displaystyle \sigma ^{*}}$

Pro důkaz, že ${\displaystyle \sigma ^{*}}$ je Nashovou rovnováhou v ${\displaystyle G}$, stačí ukázat, že: ${\displaystyle \forall 1\leq i\leq N,~\forall a\in A_{i},~Zisk_{i}(\sigma ^{*},a)=0{\text{.}}}$

Tímto jednoduše vyjadřujeme, že žádný hráč nemá další zisk z jednostranné změny své strategie, což je podmínka Nashovy rovnováhy. Předpokládejme, že možné zisky všech hráčů nejsou všechny rovny nule. Potom ${\displaystyle \exists i}$, ${\displaystyle 1\leq i\leq N}$ a ${\displaystyle a\in A_{i}}$ takové, že ${\displaystyle Zisk_{i}(\sigma ^{*},a)>0}$.

Povšimněme si, že

${\displaystyle \sum _{a\in A_{i}}g_{i}(\sigma ^{*},a)=1+\sum _{a\in A_{i}}Zisk_{i}(\sigma ^{*},a)>1.}$

Nechť je tedy ${\displaystyle C=\sum _{a\in A_{i}}g_{i}(\sigma ^{*},a)}$. ${\displaystyle Zisk(i,\cdot )}$ označme za vektor zisků s indexy akcí ${\displaystyle A_{i}}$. Pokud je ${\displaystyle f(\sigma ^{*})=\sigma ^{*}}$ pak platí i ${\displaystyle f_{i}(\sigma ^{*})=\sigma _{i}^{*}}$.

Následně tedy

${\displaystyle \sigma _{i}^{*}={\frac {g_{i}(\sigma ^{*})}{\sum _{a\in A_{i}}g_{i}(\sigma ^{*})(a)}}\Rightarrow \sigma _{i}^{*}={\frac {\sigma _{i}^{*}+Zisk_{i}(\sigma ^{*},\cdot )}{C}}\Rightarrow C\sigma _{i}^{*}=\sigma _{i}^{*}+Zisk_{i}(\sigma ^{*},\cdot )}$

${\displaystyle \left(C-1\right)\sigma _{i}^{*}=Zisk_{i}(\sigma ^{*},\cdot )\Rightarrow \sigma _{i}^{*}=\left({\frac {1}{C-1}}\right)Zisk_{i}(\sigma ^{*},\cdot ).}$

V případě že ${\displaystyle C>1}$, pak ${\displaystyle \sigma _{i}^{*}}$ tvoří kladné váhy vektoru ${\displaystyle Zisk_{i}(\sigma ^{*},\cdot )}$. Mějme tvrzení, že

${\displaystyle \sigma _{i}^{*}(a)(u_{i}(a_{i},\sigma _{-i}^{*})-u_{i}(\sigma _{i}^{*},\sigma _{-i}^{*}))=\sigma _{i}^{*}(a)Zisk_{i}(\sigma ^{*},a)}$

${\displaystyle \forall a\in A_{i}}$. Nejprve poznamenejme, že pokud ${\displaystyle Zisk_{i}(\sigma ^{*},a)>0}$ pak je toto správná definice výplatní funkce. Nyní předpokládejme, že

${\displaystyle Zisk_{i}(\sigma ^{*},a)=0}$.

Z našich předchozích tvrzení plyne

${\displaystyle \sigma _{i}^{*}(a)=\left({\frac {1}{C-1}}\right)Zisk_{i}(\sigma ^{*},a)=0}$

Levá strana výrazu je rovna nula, tedy i celý výraz je roven ${\displaystyle 0}$. Nakonec se tedy dostáváme k ${\displaystyle 0=u_{i}(\sigma _{i}^{*},\sigma _{-i}^{*})-u_{i}(\sigma _{i}^{*},\sigma _{-i}^{*})}$

${\displaystyle =\left(\sum _{a\in A_{i}}\sigma _{i}^{*}(a)u_{i}(a_{i},\sigma _{-i}^{*})\right)-u_{i}(\sigma _{i}^{*},\sigma _{-i}^{*})}$

${\displaystyle =\sum _{a\in A_{i}}\sigma _{i}^{*}(a)(u_{i}(a_{i},\sigma _{-i}^{*})-u_{i}(\sigma _{i}^{*},\sigma _{-i}^{*}))}$

${\displaystyle =\sum _{a\in A_{i}}\sigma _{i}^{*}(a)Zisk_{i}(\sigma ^{*},a)\quad }$

${\displaystyle =\sum _{a\in A_{i}}\left(C-1\right)\sigma _{i}^{*}(a)^{2}>0}$

Kde je poslední nerovnost z důvodu, že ${\displaystyle \sigma _{i}^{*}}$ je nenulový vektor. Toto je zřejmý spor, tudíž všechny zisky musí být opravdu nulové. Pak tedy je ${\displaystyle \sigma ^{*}}$ Nashovou rovnováhou pro ${\displaystyle G}$.

Koordinační hra je klasickým příkladem hry dvou hráčů s možnými dvěma strategiemi. Hráči by měli spolupracovat a zvolit strategii A, protože jejich výplata bude v tomto případě nejvyšší, tedy 4. Další Nashova rovnováha nastává i v situaci, kdy oba zvolí strategii B. V tomto případě je ale výplata obou hráčů menší než v předchozí případě. I přesto však ani jeden z hráčů již nemůže jednostrannou změnou strategii nic získat.

Příkladem koordinační hry je rozhodování dvou firem s kompatibilními produkty mezi dvěma dostupnými technologiemi. Ty mají zvolit jednu z technologií za standard. Pokud se obě firmy shodnou na jedné technologii, mohou očekávat obchodní úspěch. Pokud se ale nedohodnou, skončí jejich produkty neúspěšně.

Při jízdě autem si musíme zvolit, zda pojedeme po levé nebo pravé straně silnice, a jedná se tedy také o koordinační hru. Pokud například hodnota 100 značí, že nedojde k nehodě a 0 značí nehodu, pak můžeme naši hru definovat následovně:

V tomto případě dostáváme opět dvě rovnovážná řešení v ryzích strategiích, tedy pokud se oba hráči rozhodnou pro jízdu vlevo nebo se oba rozhodnou pro jízdu vpravo. Pokud bychom uvažovali i smíšené strategie, pak k těmto dvěma strategií přidáme ještě jedno rovnovážné řešení, kde se každý z hráčů rozhodne s 50% pravděpodobností pro levou a s 50% pravděpodobností pro pravou stranu.

Vězňovo dilema je podobná koordinační hra. Oba hráči se rozhodují, jestli zradit a přiznat se, nebo nevypovídat. V tomto případě se zde nachází pouze jedna Nashova rovnováha a oba hráči si zvolí možnost zradit, protože v jakékoliv situaci se vyplatí hráči změnit strategii z mlčení na zradu a vždy si svou situaci zlepší. Tento příklad ukazuje, že Nashova rovnováha není vždy Paretovsky optimální. Zde by se vyplatilo oběma hráčům mlčet a jejich celková situace by se zlepšila. Taková situace však není stabilní.

Hra dvou hráčů, kde oba současně vyberou celé číslo od nuly do tří a výhra každého z nich bude rovna menšímu z těchto dvou čísel. Navíc pokud jeden z hráčů vybere vyšší číslo než druhý hráč, musí druhému hráči odevzdat dva své body. Tato hra má pouze jednu ryzí Nashovu rovnováhu: oba hráči zvolí číslo 0 (podbarveno červeně). Pokud by zvolili jiné strategie, mohl by jeden z hráčů vždy zlepšit svou situaci snížením zvoleného čísla a taková situace by nebyla stabilní. Pokud bychom například zvolili jako výchozí situaci zeleně podbarvené políčko v tabulce nalevo, bylo by v zájmu prvního hráče vybrat nižší číslo a přesunout hru na fialově podbarvené políčko. Druhý hráč by pak také zvolil nižší číslo a přesunul by tak výsledek na modré políčko a takto se postupně dostaneme na červeně podbarvené políčko, kde již nastává Nashova rovnováha. Pokud bychom upravili pravidla tak, že oba hráči získají počet bodů rovný jejich volbě pouze pokud by zvolili stejné číslo a v opačném případě by nezískali nic, nastala by Nashova rovnováha ve čtyřech bodech na úhlopříčce.

Příklady problémů z teorie her, kde tyto podmínky nejsou splněny:

1. První podmínka není splněna v případě her, které nesprávně popisují proměnné, které chce hráč maximalizovat. V tomto případě nemá hráč žádný důvod přijmout rovnovážnou strategii. Touto hrou může být vězňovo dilema za podmínky, že by hráči nebyli ochotni být uvězněni na doživotí.
2. Úmyslné nebo neúmyslné nedokonalé provedení. Pokud bychom uvažovali dva bezchybné počítače hrající proti sobě, výsledkem by byla remíza. Pokud by ale nebyly naprosto bezchybné, tak ten, který by jako první udělal chybu, by prohrál.
3. V mnoha případech není splněna třetí podmínka. Přestože Nashova rovnováha existuje, není její řešení známé kvůli složitosti. Toto můžeme pozorovat například u čínských šachů.
4. Čtvrtá podmínka nemusí být splněna i přesto, že všichni hráči splňují všechny ostatní podmínky. Hráči chybně podceňují ostatní a přijímají takové strategie, kterými se snaží přimět ostatní k neracionálním rozhodnutím. Tato situace je uvažována zejména v závodech ve zbrojení.

Vzhledem k těmto omezujícím podmínkám, kdy opravdu nastává Nashova rovnováha, je tento koncept málo používán v běžných situacích nebo pozorován při běžném vyjednávání. Nicméně nalézá uplatněni v ekonomických teoriích a evoluční biologii. V ekonomii jsou výplatou hráče peníze a v evoluční biologii přenos genů do další generace.

• Dixit, Avinash and Susan Skeath. Games of Strategy. W.W. Norton & Company. (Second edition in 2004)
• DUTTA, Prajit K. Strategies and games: theory and practice. [s.l.]: MIT Press, 1999. ISBN 978-0-262-04169-0.. Suitable for undergraduate and business students.
• Fudenberg, Drew and Jean Tirole (1991) Game Theory MIT Press.
• LEYTON-BROWN, Kevin; SHOHAM, Yoav. Essentials of Game Theory: A Concise, Multidisciplinary Introduction. San Rafael, CA: Morgan & Claypool Publishers, 2008. Dostupné online. ISBN 978-1-598-29593-1.. An 88-page mathematical introduction; see Chapter 2. Free online at many universities.
• Morgenstern, Oskar and John von Neumann (1947) The Theory of Games and Economic Behavior Princeton University Press
• MYERSON, Roger B. Game theory: analysis of conflict. [s.l.]: Harvard University Press, 1997. ISBN 978-0-674-34116-6.
• RUBINSTEIN, Ariel; OSBORNE, Martin J. A course in game theory. [s.l.]: MIT Press, 1994. ISBN 978-0-262-65040-3.. A modern introduction at the graduate level.
• SHOHAM, Yoav; LEYTON-BROWN, Kevin. Multiagent Systems: Algorithmic, Game-Theoretic, and Logical Foundations [online]. New York: Cambridge University Press, 2009. Dostupné online. ISBN 978-0-521-89943-7.. A comprehensive reference from a computational perspective; see Chapter 3. Downloadable free online.
• GIBBONS, Robert. Game Theory for Applied Economists. [s.l.]: Princeton University Press (July 13, 1992), 1992. ISBN 978-0-691-00395-5.. Lucid and detailed introduction to game theory in an explicitly economic context.
• OSBORNE, Martin. An introduction to game theory. [s.l.]: Oxford University. Introduction to Nash equilibrium.

• Nash, John (1950) "Equilibrium points in n-person games" Proceedings of the National Academy of Sciences 36(1):48-49.
• Nash, John (1951) "Non-Cooperative Games" The Annals of Mathematics 54(2):286-295.

• Mehlmann, A. The Game's Afoot! Game Theory in Myth and Paradox, American Mathematical Society (2000).
• Nasar, Sylvia (1998), "A Beautiful Mind", Simon and Schuster, Inc.