Množinová algebra

Množinová algebra je množinově teoretická analogie číselné algebry. Množinové sjednocení a průnik jsou asociativní a komutativní stejně jako aritmetické operace sčítání a násobení; množinová relace „je podmnožinou“ je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní stejně jako aritmetická relace „menší nebo rovno“.

Jde o algebru množinově teoretických operací sjednocení, průniku a doplňku a relací rovnosti a inkluze. Základní informace o teorii množin jsou ve článcích množina, teorie množin, naivní teorie množin a axiomatická teorie množin.

Množinové binární operace sjednocení (${\displaystyle \cup }$) a průnik (${\displaystyle \cap }$) vyhovují mnoha identitám. Několik těchto identit nebo „zákonů“ je pojmenovaných.

Zákony komutativity:

• ${\displaystyle A\cup B=B\cup A}$
• ${\displaystyle A\cap B=B\cap A}$

Zákony asociativity:

• ${\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)}$
• ${\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)}$

Zákony distributivity:

• ${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}$
• ${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$

Sjednocení a průnik množin můžeme považovat za operace analogické sčítání a násobení čísel. Stejně jako sčítání a násobení, operace sjednocení a průnik jsou komutativní a asociativní a průnik je distributivní vůči sjednocení. Na rozdíl od sčítání a násobení je také sjednocení distributivní vůči průniku.

Další dvojice zákonů definuje speciální množiny nazývané prázdná množina Ø a univerzální množina (univerzum) ${\displaystyle U}$; spolu s doplněk operátor (${\displaystyle A^{C}}$ označuje doplněk ${\displaystyle A}$. Tento může také být napsaný jako ${\displaystyle A^{'}}$, čteme s čarou). Prázdná množina nemá žádné prvky a univerzální množina má všechny možné prvky (v určitém kontextu).

Zákony identity:

• ${\displaystyle A\cup \varnothing =A}$
• ${\displaystyle A\cap U=A}$

Zákony doplňku:

• ${\displaystyle A\cup A^{C}=U}$
• ${\displaystyle A\cap A^{C}=\varnothing }$

Zákony identity (spolu s komutativními zákony) říkají že stejně jako čísla 0 a 1 jsou neutrálními prvky pro sčítání a násobení, jsou Ø a U neutrálními prvky pro sjednocení, resp. průnik.

Operace sjednocení a průnik nemají na rozdíl sčítání a násobení inverzní prvky. Zákony doplňku však poskytují základní vlastnosti unární operace, která se chová jako obdoba k množinovému doplňku.

Výše uvedených pět dvojic zákonů – komutativní, asociativní, distributivní, zákony identity a doplňku – obsahuje kompletní seznam axiomů množinové algebra, v tom smyslu, že každé pravdivé tvrzení v množinové algebře z nich může být odvozeno.