Úhel

Polopřímky, které vymezují úhel v rovině, se nazývají ramena úhlu, společný počáteční bod polopřímek se nazývá vrchol úhlu.

Do úhlu zahrnujeme také body ležící na polopřímkách. Množina všech bodů úhlu, které neleží na žádné z polopřímek, se nazývá vnitřek úhlu. Množina všech bodů roviny, které nepatří do úhlu, se nazývá vnějšek úhlu.

Úhel se znázorňuje pomocí jeho ramen, mezi kterými se vyznačí oblouček kolem vrcholu úhlu. Zápis úhlu se provádí pomocí řeckého písmene, např. ${\displaystyle \alpha }$, nebo pomocí symbolu úhlu a tří bodů v pořadí: pomocný bod na prvním rameně – vrchol – pomocný bod na druhém rameně, např. ${\displaystyle \angle AVB}$.

• Nulový úhel (0°, 0 rad) je úhel, jehož ramena leží na sobě.
• Ostrý úhel (< 90°, < ${\displaystyle \pi }$/2 rad) je úhel menší než pravý úhel.
• Pravý úhel (90°, ${\displaystyle \pi }$/2) je polovina přímého úhlu. Pravý úhel se označuje tečkou v obloučku. Dvě přímky v pravém úhlu dělí plochu na 4 shodné kvadranty.
• Tupý úhel (> 90°, ale < 180°) je úhel větší než pravý úhel, ale menší než přímý úhel.
• Přímý úhel (180°, ${\displaystyle \pi }$ rad) je úhel, jehož ramena jsou opačné polopřímky.
• Plný úhel (360°, 2${\displaystyle \pi }$ rad) je úhel, jehož ramena leží na sobě, za úhel se považuje celá rovina kolem nich.

• Kosý úhel[4] (≠0, ≠90°, ≠180°, ≠270°, ≠360°) je úhel, který není nulový, pravý, přímý nebo plný.
• Konvexní úhel je úhel přímý nebo menší než přímý.
  • Dutý úhel[5] (${\displaystyle \alpha }$<180°) je úhel, který je menší než přímý úhel.
• Konkávní úhel, vypuklý úhel[5] (180°<${\displaystyle \alpha }$<360°) je úhel, který je větší než přímý úhel a menší než plný úhel.

• Vrcholové úhly jsou dva úhly, jejichž ramena jsou opačné polopřímky. Vrcholové úhly jsou shodné. Vrcholové úhly mají společný vrchol.

• Vedlejší úhly jsou dva úhly, jejichž jedno rameno je společné a druhá ramena jsou opačné polopřímky. Součet vedlejších úhlů je přímý úhel.

• Souhlasné úhly jsou dva úhly, jejichž první ramena leží na jedné přímce a druhá ramena jsou rovnoběžná, přitom směr příslušných ramen je stejný (souhlasný). Souhlasné úhly jsou shodné.

• Střídavé úhly jsou dva úhly, jejichž první ramena leží na jedné přímce a druhá ramena jsou rovnoběžná, přitom směr příslušných ramen je opačný (střídavý). Střídavé úhly jsou shodné.

• Středový úhel je úhel, jehož vrcholem je střed ${\displaystyle S}$, kružnice ${\displaystyle k}$ a ramena procházejí krajními body oblouku ${\displaystyle AB}$ kružnice ${\displaystyle k}$ (${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ – středové úhly).

• Obvodový úhel je každý úhel, jehož vrchol ${\displaystyle V}$ leží na kružnici ${\displaystyle k}$ a ramena procházejí krajními body oblouku ${\displaystyle AB}$ kružnice ${\displaystyle k}$ (${\displaystyle V\neq A}$, ${\displaystyle V\neq B}$).

• Úsekový úhel je úhel, jenž svírá tětiva ${\displaystyle AB}$ kružnice ${\displaystyle AB}$ s tečnou ${\displaystyle t}$ kružnice ${\displaystyle k}$ v bodě ${\displaystyle A}$ (popř. bodě ${\displaystyle B}$).

Vztahy mezi velikostmi těchto úhlů popisuje následující obrázek:

Všechny úhly jsou osově souměrné, osa úhlu prochází vrcholem a rozděluje úhel na dvě shodné části (poloviny úhlu).

Orientovaným úhlem se nazývá uspořádanou dvojici polopřímek ${\displaystyle {\overrightarrow {VA}}}$, ${\displaystyle {\overrightarrow {VB}}}$ se společným bodem ${\displaystyle V}$, přičemž polopřímka ${\displaystyle {\overrightarrow {VA}}}$ se nazvývá počáteční rameno úhlu a polopřímka ${\displaystyle {\overrightarrow {VB}}}$ koncové rameno úhlu. Bod ${\displaystyle V}$ je vrcholem orientovaného úhlu.

Velikost úhlu je nezáporné číslo, které lze přiřadit každému úhlu. Platí přitom, že shodné úhly mají stejnou velikost a také, že součet velikostí úhlů ${\displaystyle \angle AVX}$ a ${\displaystyle \angle XVB}$ je roven velikosti úhlu ${\displaystyle \angle AVB}$.

Číselná velikost úhlu je dána volbou nenulového úhlu, kterému přiřadíme velikost 1. V praxi se pro měření úhlu používá

Pravidlo pravé ruky

Rovinný úhel je také fyzikální veličina užívaná k udávání polohy v prostoru (sférické souřadnice, cylindrické souřadnice) a k popisu otáčivých pohybů a jejich skládání (včetně otáčení s různoběžnými osami). Nejedná se tedy pouze o rovinné, ale i ryze prostorové problémy.

V soustavě SI je hlavní jednotkou rovinného úhlu jakožto fyzikální veličiny 1 radián,[6] normy připouštějí i jednotky (úhlový) stupeň, (úhlová) minuta a (úhlová) vteřina (dříve tzv. vedlejší jednotky, dnes mimosoustavové jednotky přípustné k použití se SI).[7]

Pro vyjádření polohy roviny úhlu v prostoru a současně jeho orientace se původně skalární veličina zobecňuje na axiální vektor. Jeho směr leží v přímce kolmé k rovině úhlu procházející vrcholem úhlu. Orientace je konvencí stanovena tak, že při kolmém pohledu na rovinu úhlu s kladnou orientací (proti směru hodinových ručiček) směřuje vektor úhlu k pozorovateli. Jednoduše lze stanovit pravidlem pravé ruky: Položíme-li dlaň pravé ruky malíčkovým hřbetem na rovinu úhlu tak, že zahnuté články prstů směřují ve směru od počátečního ke koncovému rameni (v kinematice je to směr otáčení), ukazuje palec směr vektoru úhlu.

Toto prostorové zobecnění je oprávněné (neuvažujeme-li triviální případ úhlů v jedné rovině) pouze v případě velmi malých otočení; vektorová algebra platí pouze pro elementární (ve smyslu infinitezimální) úhly.[8] Lze pak bez problémů používat i pro veličiny vzniklé časovou derivací úhlu: S využitím vektorového vyjádření úhlu ${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}}$ pak lze jednoduše vektorově definovat i úhlovou rychlost ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varphi }}}{\mathrm {d} t}}}$ a mnohé jiné veličiny.

Naopak pro obecné úhly je nutno volit jiný algebraický popis, aby byl konzistentní i pro skládání úhlů. Takové skládání totiž obecně není komutativní (tedy záleží na pořadí skládaných úhlů otočení) a znázornění úhlu axiálním vektorem je proto nekorektní.[9] Pro analytický popis jsou například vhodné kvaterniony rotace, v nichž vystupují čtveřice Eulerových parametrů (zpravidla značených A, B, C, D), nebo parametrické vyjádření lineárně lomenou transformací se čtveřicí Cayleyových-Kleinových parametrů (zpravidla α, β, γ, δ).[8]

Měření úhlů je v praxi velmi důležité. Využívá je astronomie, geodézie a mnoho dalších oborů. Proto se také vyvinula řada měřicích přístrojů. Úhloměr je i základem mnoha druhů dálkoměrů.

• Úhloměr – nejjednodušší měřidlo – jedná se o polokruhovou desku se stupnicí po obvodu. Složitější přístroje mají pohyblivé rameno.
• Jakubova hůl – jednoduchý středověký astronomický přístroj měřící na principu porovnávání stran trojúhelníku.
• Kvadrant, sextant, oktant – používané v navigaci.

• Trisekce úhlu
• Prostorový úhel

• Slovníkové heslo úhel ve Wikislovníku
• Obrázky, zvuky či videa k tématu úhel na Wikimedia Commons