Posloupnost

Posloupnost je zobrazení z množiny přirozených čísel do libovolné množiny.

Nekonečná posloupnost je zobrazení množiny přirozených čísel do libovolné množiny.

Číselná posloupnost je zobrazení z množiny přirozených čísel do libovolné číselné množiny (například do množiny komplexních nebo reálných čísel).

Posloupnost značíme obvykle ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, i když správnější by bylo (podobně jako u uspořádané n-tice) ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$, ${\displaystyle \left[{a_{n}}\right]_{n=1}^{\infty }}$, ${\displaystyle (a_{n})}$ nebo (pokud nemůže dojít k záměně s jiným značením) pouze ${\displaystyle a_{n}}$. Čteme „posloupnost á en pro en (jdoucí) od jedné do nekonečna“.

Posloupnost může být určena výrazem (předpisem), který vyjadřuje přímo n-tý člen posloupnosti ${\displaystyle a_{n}}$, např. ${\displaystyle a_{n}={\frac {n}{n+1}}}$ odpovídá posloupnosti ${\displaystyle {\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {4}{5}},\cdots }$

Jsou-li členy posloupnosti čísla, hovoříme o číselné posloupnosti, jsou-li to funkce, pak hovoříme o funkčních posloupnostech. Funkční posloupnost je posloupnost, která každému přirozenému číslu ${\displaystyle n}$ přiřazuje funkci ${\displaystyle f_{n}(x)}$, přičemž hodnota n-tého členu funkční posloupnosti závisí nejen na pořadovém čísle ${\displaystyle n}$, ale také na parametrech funkce ${\displaystyle f_{n}}$ (v obecném případě nemusí jít o funkci jedné proměnné).

Je-li ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$ posloupnost (obecně reálných) čísel a ${\displaystyle (k_{n})_{n=1}^{\infty }}$ rostoucí posloupnost přirozených čísel, pak složené zobrazení ${\displaystyle (a_{k_{n}})_{n=1}^{\infty }}$ nazýváme posloupnost vybraná (též podposloupnost) z ${\displaystyle a_{n}}$ (jinými slovy, z ${\displaystyle a_{n}}$ vybereme některé členy, ale tak, že jejich indexy rostou, např. všechny liché členy).

Posloupnosti hrají důležitou roli v topologii, zvláště ve studiu metrických prostorů. Například:

• Metrický prostor je kompaktní právě tehdy, když je sekvenčně kompaktní.
• Zobrazení z metrického prostoru do jiného metrického prostoru je spojité právě tehdy, když obrazem každé konvergentní posloupnosti je konvergentní posloupnost.
• Metrický prostor je souvislý právě tehdy, když při každém rozdělení prostoru na dvě množiny, existuje v jedné z těchto množin posloupnost, která konverguje k bodu ve druhé z množin.
• Topologický prostor je separabilní právě tehdy, když existuje hustá posloupnost bodů.

Posloupnosti lze zobecnit na sítě nebo filtry. Tato zobecnění nám umožňují rozšířit některé z výše uvedených vět na prostory bez metriky.