Limita
Limita je matematická konstrukce vyjadřující, že se hodnoty zadané posloupnosti nebo funkce blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se u funkcí zapisuje a u posloupností případně .
Dle toho, zda se uvažuje o posloupnosti nebo o funkci, hovoříme o limitě posloupnosti nebo limitě funkce. Pojem limity lze definovat na reálných číslech, obecnější definice má smysl na libovolném metrickém prostoru a ještě obecnější definice na libovolném topologickém prostoru. Tam, kde má smysl více definic, jsou tyto definice ekvivalentní (například reálná čísla jsou metrickým i topologickým prostorem).
Limita posloupnosti
Posloupnost má limitu A, pokud se jejími hodnotami můžeme k A libovolně přiblížit. Tedy pro každé kladné číslo platí, že existuje nějaký člen posloupnosti, od kterého jsou už její hodnoty od A vzdáleny méně než .
Zapsáno symbolicky:
Příklad: Číslo 1 je limitou posloupnosti (0,9; 0,99; 0,999; 0,9999 …), kterou lze formálně zapsat jako {1-10−j}j.
Limita funkce
Říkáme, že funkce f(x) má v bodě a limitu A, jestliže k libovolnému existuje takové , že pro všechna x z -okolí bodu a, z něhož vyjmeme bod a (tzv. prstencová okolí bodu a) je .
Limita vzhledem k podmnožině
(Speciální případ: Pravostranná a levostranná limita)
Nevlastní limita
Pokud pro každé (libovolně velké) kladné číslo y lze nalézt prvek posloupnosti, počínaje kterým jsou všechny hodnoty posloupnosti větší než y, říkáme, že posloupnost roste nade všechny meze neboli že má nevlastní limitu . Obdobně se definuje nevlastní limita .
Pokud pro funkci v okolí bodu a platí, že pro každé (libovolně velké) kladné číslo y lze nalézt okolí bodu a, ve kterém má funkce hodnotu větší než y, říkáme, že funkce v okolí bodu a roste nade všechny meze neboli že má nevlastní limitu . Nevlastní limita se definuje obdobně.
Limitou tedy může být nejen reálné číslo, ale i nebo (rozšířené reálné číslo).
Limita v nevlastním bodě
Stejně jako u posloupností lze zkoumat chování funkcí pro všechny hodnoty argumentu větší než zadané kladné číslo z. Pokud se hodnoty neliší od určitého čísla A o více než předem zadané , má funkce v nevlastním bodě vlastní limitu A. Pokud jsou hodnoty větší než libovolné předem dané y, má funkce v nevlastním bodě nevlastní limitu .
Obdobným způsobem lze definovat limitu v nevlastním bodě .
V každém z nevlastních bodů nebo může mít funkce vlastní limitu, nevlastní limitu nebo limita nemusí existovat. Příkladem funkce, která nemá limitu v žádném z bodů nebo , je funkce sinus.
Zobecnění pro topologické prostory
Limita zobrazení mezi topologickými prostory je v bodě a definována jako takové, že pro každé okolí O(b) bodu b existuje okolí O(a) bodu a takové, že implikuje .
Dalším zobecněním limity posloupnosti, funkce i zobrazení jsou limity sítí[1].
Limita zobrazení nebo sítě může být v obecném topologickém prostoru víceznačná. Platí však, že v Hausdorffově prostoru, je tato limita jednoznačná, t.j. každá síť má nejvýše jednu limitu.
Příklady
- Graf funkce . Je vidět, že tato funkce má limitu 1 v bodě nula.
- Graf funkce . Je vidět, že tato funkce nemá limitu v bodě nula a má vlastní limity 0 v .
- Graf funkce . Je vidět, že tato funkce má nevlastní limitu v bodě nula a má vlastní limity 0 v .
- Funkce není v nule definovaná, ale má v ní limitu 1[pozn 1] (vlastní limita ve vlastním bodě) a v má limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě).
- Funkce je v nule spojitá (limita je 0) a v limitu nemá. Obě tato tvrzení platí i o funkci
- Funkce ani v nule limitu nemají. Totéž platí i o funkcích či , ovšem ty mají alespoň jednostranné limity: jejich pravostranná limita je a levostranná . Naproti tomu funkce a mají v nule limitu (nevlastní limita ve vlastním bodě).
- Funkce má v limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě) a v limitu .
Poznámky
- To lze intuitivně zdůvodnit tak, že funkce sin x má v okolí nuly "velmi podobný" průběh, jako funkce f(x) = x; proto se jejich poměr blíží k jedné.
Související články
Reference
- Michael C. Gemignani, Elementary topology, Courier Dover Publications, 1990 (strana 122, def. 3)
Externí odkazy
- Encyklopedické heslo Limita v Ottově slovníku naučném ve Wikizdrojích
- Obrázky, zvuky či videa k tématu limita na Wikimedia Commons