Limita

Limita je matematická konstrukce vyjadřující, že se hodnoty zadané posloupnosti nebo funkce blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se u funkcí zapisuje a u posloupností případně .

Dle toho, zda se uvažuje o posloupnosti nebo o funkci, hovoříme o limitě posloupnosti nebo limitě funkce. Pojem limity lze definovat na reálných číslech, obecnější definice má smysl na libovolném metrickém prostoru a ještě obecnější definice na libovolném topologickém prostoru. Tam, kde má smysl více definic, jsou tyto definice ekvivalentní (například reálná čísla jsou metrickým i topologickým prostorem).

Limita posloupnosti

Podrobnější informace naleznete v článku Limita posloupnosti.

Posloupnost limitu A, pokud se jejími hodnotami můžeme k A libovolně přiblížit. Tedy pro každé kladné číslo platí, že existuje nějaký člen posloupnosti, od kterého jsou už její hodnoty od A vzdáleny méně než .

Zapsáno symbolicky:

Příklad: Číslo 1 je limitou posloupnosti (0,9; 0,99; 0,999; 0,9999 …), kterou lze formálně zapsat jako {1-10−j}j.

Limita funkce

Podrobnější informace naleznete v článku limita funkce.

Říkáme, že funkce f(x) má v bodě a limitu A, jestliže k libovolnému existuje takové , že pro všechna x z -okolí bodu a, z něhož vyjmeme bod a (tzv. prstencová okolí bodu a) je .

Limita vzhledem k podmnožině

(Speciální případ: Pravostranná a levostranná limita)

Nevlastní limita

Pokud pro každé (libovolně velké) kladné číslo y lze nalézt prvek posloupnosti, počínaje kterým jsou všechny hodnoty posloupnosti větší než y, říkáme, že posloupnost roste nade všechny meze neboli že má nevlastní limitu . Obdobně se definuje nevlastní limita .

Pokud pro funkci v okolí bodu a platí, že pro každé (libovolně velké) kladné číslo y lze nalézt okolí bodu a, ve kterém má funkce hodnotu větší než y, říkáme, že funkce v okolí bodu a roste nade všechny meze neboli že má nevlastní limitu . Nevlastní limita se definuje obdobně.

Limitou tedy může být nejen reálné číslo, ale i nebo (rozšířené reálné číslo).

Limita v nevlastním bodě

Stejně jako u posloupností lze zkoumat chování funkcí pro všechny hodnoty argumentu větší než zadané kladné číslo z. Pokud se hodnoty neliší od určitého čísla A o více než předem zadané , má funkce v nevlastním bodě vlastní limitu A. Pokud jsou hodnoty větší než libovolné předem dané y, má funkce v nevlastním bodě nevlastní limitu .

Obdobným způsobem lze definovat limitu v nevlastním bodě .

V každém z nevlastních bodů nebo může mít funkce vlastní limitu, nevlastní limitu nebo limita nemusí existovat. Příkladem funkce, která nemá limitu v žádném z bodů nebo , je funkce sinus.

Zobecnění pro topologické prostory

Limita zobrazení mezi topologickými prostory je v bodě a definována jako takové, že pro každé okolí O(b) bodu b existuje okolí O(a) bodu a takové, že implikuje .

Dalším zobecněním limity posloupnosti, funkce i zobrazení jsou limity sítí[1].

Limita zobrazení nebo sítě může být v obecném topologickém prostoru víceznačná. Platí však, že v Hausdorffově prostoru, je tato limita jednoznačná, t.j. každá síť má nejvýše jednu limitu.

Příklady

  • Funkce není v nule definovaná, ale má v ní limitu 1[pozn 1] (vlastní limita ve vlastním bodě) a v má limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě).
  • Funkce je v nule spojitá (limita je 0) a v limitu nemá. Obě tato tvrzení platí i o funkci
  • Funkce ani v nule limitu nemají. Totéž platí i o funkcích či , ovšem ty mají alespoň jednostranné limity: jejich pravostranná limita je a levostranná . Naproti tomu funkce a mají v nule limitu (nevlastní limita ve vlastním bodě).
  • Funkce má v limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě) a v limitu .

Poznámky

  1. To lze intuitivně zdůvodnit tak, že funkce sin x má v okolí nuly "velmi podobný" průběh, jako funkce f(x) = x; proto se jejich poměr blíží k jedné.

Související články

Reference

  1. Michael C. Gemignani, Elementary topology, Courier Dover Publications, 1990 (strana 122, def. 3)

Externí odkazy

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.