Kardinální aritmetika

Jsou-li ${\displaystyle \lambda ,\mu \,\!}$ dvě kardinální čísla, pak definujeme jejich kardinální součet a kardinální součin vztahy:

• ${\displaystyle \lambda +\mu =|(\{0\}\times \lambda )\cup (\{1\}\times \mu )|\,\!}$
• ${\displaystyle \lambda .\mu =|\mu \times \lambda |\,\!}$

Lidsky řečeno:
Kardinálním součtem dvou kardinálů je mohutnost jejich sjednocení, ve kterém si pomocí operace kartézského součinu s jednoprvkovou množinou zajistím jejich disjunktnost. Kardinálním součinem dvou kardinálů je mohutnost jejich kartézského součinu.

Jsou-li ${\displaystyle \lambda ,\mu \,\!}$ dvě kardinální čísla, pak definujeme jejich kardinální mocninu ${\displaystyle \lambda ^{\mu }\,\!}$ jako mohutnost množiny všech zobrazení množiny ${\displaystyle \mu \,\!}$ do množiny ${\displaystyle \lambda \,\!}$.

Kardinální mocnina má podobné základní vlastnosti jako běžná mocnina na přirozených číslech nebo ordinální mocnina:

• ${\displaystyle 0^{0}=1\,\!}$
• ${\displaystyle 0^{\lambda }=0\,\!}$ pro ${\displaystyle \lambda >0\,\!}$
• ${\displaystyle \lambda ^{0}=1\,\!}$
• ${\displaystyle 1^{\lambda }=1\,\!}$
• ${\displaystyle \lambda ^{\mu _{1}+\mu _{2}}=\lambda ^{\mu _{1}}.\lambda ^{\mu _{2}}\,\!}$
• ${\displaystyle (\lambda ^{\mu _{1}})^{\mu _{2}}=\lambda ^{\mu _{1}.\mu _{2}}\,\!}$

Stejně jako součet a součin, i mocnina se na oboru nekonečných kardinálů začíná podstatně lišit od ordinální mocniny:

• ${\displaystyle {\lambda }^{\mu }=\lambda \,\!}$ pro ${\displaystyle \lambda \,\!}$ nekonečné a ${\displaystyle \mu \,\!}$ konečné
• ${\displaystyle {\lambda }^{\mu }=2^{\mu }\,\!}$ pro ${\displaystyle \mu \,\!}$ nekonečné a ${\displaystyle 2\leq \lambda \leq \mu \,\!}$

První z těchto dvou vztahů nám říká, že konečné exponenty pro nekonečný základ nejsou zajímavé, neboť dostanu opět původní číslo.

Pokud do druhého vzorce dosadím ${\displaystyle \lambda =\omega \,\!}$ a ${\displaystyle \mu =\omega \,\!}$, dostávám výsledek
${\displaystyle \omega ^{\omega }=2^{\omega }\,\!}$,
což znamená, že všech zobrazení z přirozených čísel do přirozených čísel je stejně jako zobrazení přirozených čísel do množiny ${\displaystyle \{0,1\}\,\!}$ - a to je vlastně totéž, jako potenční množina ${\displaystyle \mathbb {P} (\omega )\,\!}$

Dá se ukázat, že ${\displaystyle \mathbb {P} (\omega )\,\!}$ má stejnou mohutnost jako množina ${\displaystyle \mathbb {R} \,\!}$ všech reálných čísel, tj. ${\displaystyle |\mathbb {P} (\omega )|=|\mathbb {R} |=2^{\omega }\,\!}$ - proto je tato mohutnost obvykle označována jako mohutnost kontinua.

Nabízí se zdánlivě jednoduchá otázka: který kardinál je mohutnost kontinua, tj. (přeloženo do značení pomocí funkce alef, kde ${\displaystyle \omega =\aleph _{0}}$ ) pro které ${\displaystyle \alpha \,\!}$ platí
${\displaystyle \aleph _{\alpha }=2^{\aleph _{0}}}$ ?

Tato zdánlivě jednoduchá otázka nemá z běžných axiomů teorie množin (ZF) odpověď. Jednu z možných odpovědí dává hypotéza kontinua: ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$, což je intuitivně asi nejpřijatelnější. Tato hypotéza se nedá dokázat ani vyvrátit z axiomů teorie množin, je na nich nezávislá. Stejně tak je nezávislá i hypotéza ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}}$ nebo ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{137}}$ .

Jediné, co lze spolehlivě zjistit z axiomů teorie množin o průběhu funkce ${\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}}$ jsou následující tři údaje:

1. ${\displaystyle \alpha \leq \beta \implies 2^{\aleph _{\alpha }}\leq 2^{\aleph _{\beta }}}$
2. ${\displaystyle \aleph _{\alpha }<2^{\aleph _{\alpha }}}$
3. ${\displaystyle \aleph _{\alpha }<cf(2^{\aleph _{\alpha }})}$ , kde ${\displaystyle cf(\lambda )\,\!}$ je kofinál kardinálu kde ${\displaystyle \lambda \,\!}$

Zobecněním hypotézy kontinua získáváme lepší představu o tom, jak se chovají kardinální mocniny čísla 2 pro všechny kardinály:
${\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}}$ pro každý ordinál ${\displaystyle \alpha \,\!}$

I tato hypotéza je však nezávislá na axiomech teorie množin. Nezávislé je dokonce i tvrzení, které vypadá na první pohled velice podezřele:
Kterýkoliv regulární kardinál může být první, na kterém bude porušena zobecněná hypotéza kontinua.

Například tedy můžeme klidně tvrdit, že

• ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$
• ${\displaystyle 2^{\aleph _{1}}=\aleph _{2}}$
• ${\displaystyle 2^{\aleph _{2}}=\aleph _{3}}$
• ${\displaystyle 2^{\aleph _{3}}=\aleph _{4}}$

ale

• ${\displaystyle 2^{\aleph _{4}}=\aleph _{100}}$

Takováto „hypotéza“ je opět nezávislá na axiomech teorie množin - udivující v tomto případě je především to, že ji nelze vyvrátit.

• Kardinální číslo
• Ordinální aritmetika
• Hypotéza kontinua
• Zobecněná hypotéza kontinua
• Regulární kardinál
• Singulární kardinál
• Hypotéza singulárních kardinálů
• Kofinál
• Funkce gimel