Greenova věta

Buď c kladně orientovaná po částech hladká jednoduchá uzavřená křivka v rovině a D jednoduše souvislá oblast ohraničená křivkou c. Jsou-li L a M funkce proměnných (x, y) definované v nějaké otevřené množině obsahující množinu D a mají-li tyto funkce spojité parciální derivace prvního řádu, pak platí[1]

${\displaystyle \oint _{c}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy.}$

Greenovu větu je možno využít ke zjišťování obsahu množiny v rovině.

Vskutku, zvolme L a M tak, že platí

${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}=1.}$

Potom je obsah množiny D dán vztahem

${\displaystyle A=\oint _{C}(L\,dx+M\,dy).}$

Možná vyjádření obsahu množiny D pomocí křivkového integrálu po její hranici C zahrnují například:[2]

${\displaystyle A=\oint _{C}x\,dy=-\oint _{C}y\,dx={\tfrac {1}{2}}\oint _{C}(-y\,dx+x\,dy).}$

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Green's theorem na anglické Wikipedii.

• Planimetr

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Greenova věta na Wikimedia Commons