Homomorfismus

• izomorfismus je bijektivní homomorfismus (prostý a na)
• epimorfismus je surjektivní homomorfismus (na)
• monomorfismus je injektivní homomorfismus (prostý)
• endomorfismus je homomorfismus z objektu do sebe sama
• automorfismus je endomorfismus, který je také izomorfismem.

Mějme Z grupu celých čísel a Z_n množinu všech celých čísel od 0 do _n-1 s operacemi modulo n.

Pak zobrazení f: Z → Z₄ : f(x) = 2x mod 4 (které zobrazí lichá čísla na číslo 2 a sudá na 0) je homomorfismus, protože f(x+y) = f(x) + f(y). Například f(3+5) = f(8) = 0 = 2 + 2 = f(3) + f(5). V grupě Z₄ totiž platí 2 + 2 = 0.

Naopak zobrazení f(x) = 1 + ( 2x mod 4 ) , které zobrazí sudá čísla na 1 a lichá čísla na 3, homomorfismus není, protože f(0) + f(0) = 2, ale f(0+0) = 1.

Mnoho faktů o homomorfismech není třeba dokazovat pro každou matematickou strukturu zvlášť (zvlášť pro grupy, vektorové prostory, svaz apod.), protože prostředky univerzální algebry umožňují je dokázat zároveň pro širokou třídu struktur. Příkladem jsou věty o izomorfismu.

Jádro homomorfismu f (značené Ker f) popisuje, které dvojice prvků homomorfismu se zobrazí na tentýž prvek.

Ve strukturách s binární operací, které mají zaručenu existenci neutrálního a inverzního prvku, je obvyklé tuto informaci reprezentovat tak, že jádrem homomorfismu rozumíme podstrukturu tvořenou všemi prvky, které se zobrazí na neutrální prvek. V takových strukturách pak platí, že f(x) = f(y) právě když y-x ${\displaystyle \in }$ Ker f.

Příklad:

• Máme-li f: Z₆ → Z₆ : f(x) = 2x mod 6, pak Ker f = {0,3}
• Jiným příkladem je zobrazení z třírozměrného do dvourozměrného vektorového prostoru, které každý bod svisle promítne do vodorovné roviny procházející počátkem. (Lze si to představit jako zobrazení, které každé kuličce v prostoru přiřadí její stín na vodní hladině, pokud je slunce přesně svisle nad námi.) Jádrem takového zobrazení je svislá přímka procházející počátkem.

Tento přístup nelze ale použít pro struktury, které výše uvedenou podmínku nesplňují. Například svaz má dvě binární operace, monoid či grupoid sice mají jednu, ale není zaručena existence opačného prvku, některé signatury nemají žádnou binární operaci apod.

Proto se jádro homomorfismu definuje výše uvedených způsobem v teorii grup, okruhů lineárních prostorů apod., ale častěji se používá obecnější definice, která má smysl pro širokou třídu algebraických struktur:

Jádrem homomorfismu f z A do B rozumíme binární relaci ~ na A takovou, že x~y právě když f(x) = f(y)

Podle této definice jádro homomorfismu

f: Z₆ → Z₆ : f(x) = 2x mod 6

obsahuje dvanáct uspořádaných dvojic:

Ker f = {

(0,0), (0,3), (3,0) , (3,3) ,

(1,1), (1,4), (4,1) , (4,4) ,

(2,2), (2,5), (5,2) , (5,5) }

Jádro každého homomorfismu je kongruencí na A a proto definuje faktoralgebru A / Ker f, která je podle první věty o izomorfismu izomorfní s oborem hodnot f.